원점 대칭이동한 원과 공통접선 사이의 거리

$x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y = 0$에서 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 25$ 이므로 원 $\mathrm{C}$의 중심은 $\mathrm{A} ( 3 , 4 )$, 반지름의 길이는 $5$이다. 원 $\mathrm{C}$를 원점에 대하여 대칭이동한 원 $\mathrm{C}'$의 방정식은 $x$ 대신 $- x$, $y$ 대신 $- y$를 대입하여 $( x + 3 ) ^{2} + ( y + 4 ) ^{2} = 25$ 이므로 중심은 $\mathrm{B} ( - 3 , - 4 )$, 반지름의 길이는 $5$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{36 + 64} = 10$이고 반지름의 길이의 합도 $10$이므로 두 원은 외접하고, 접점은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점인 원점이다. 따라서 두 원의 공통접선은 원점에서 직선 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선 하나와, 직선 $\mathrm{AB}$에 평행한 두 직선이다. 원점을 지나지 않는 두 공통접선은 직선 $\mathrm{AB}$에 평행하고 직선 $\mathrm{AB}$로부터 각각 반지름의 길이 $5$만큼 떨어져 있으므로 두 직선 사이의 거리는 $5 + 5 = 10$