미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 선분 길이 미분

문제

그림과 같이 길이가 3\mathrm{3}인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 삼등분하는 점 중 A{\mathrm{A}}와 가까운 점을 C{\mathrm{C}}, B{\mathrm{B}}와 가까운 점을 D{\mathrm{D}}라 하고, 선분 BC{\mathrm{BC}}를 지름으로 하는 원을 OO라 하자. 원 OO 위의 점 P{\mathrm{P}}를 ∠BAP=θ(0<θ<π6)\displaystyle \angle \mathrm{BAP} \mathit{=} \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{6} \right) 가 되도록 잡고, 두 점 P{\mathrm{P}}, D{\mathrm{D}}를 지나는 직선이 원 OO와 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 선분 AQ{\mathrm{AQ}}의 길이를 f(θ)f ( \theta )라 할 때, cos⁡θ0=78\displaystyle \cos \theta _{0} = \frac{7}{8}인 θ0\theta _{0}에 대하여 f′(θ0)=kf' \left( \theta _{0} \right) = k이다. k2k ^{2}의 값을 구하시오. (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, ∠APD<π2\displaystyle \angle {\mathrm{APD}} \mathit{<} \frac{\pi}{2}이고 0<θ0<π6\displaystyle 0 < \theta _{0} < \frac{\pi}{6}이다.)\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

정답 보기
40

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 음함수 미분을 활용하여 문제해결하기 ∠APD=α(0<α<π2)\displaystyle \angle \mathrm{APD} \mathit{=} \alpha \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)라 하면 ∠ADQ=θ+α\angle {\mathrm{ADQ}} \mathit{=} \theta + \alpha 삼각형 AQD{\mathrm{AQD}}에서 코사인법칙에 의하여 {f(θ)}2=22+12−2×2×1×cos⁡(θ+α)\left\{ f \left( \theta \right) \right\} ^{2} = 2 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \times 2 \times 1 \times \cos \left( \theta + \alpha \right) {f(θ)}2=5−4cos⁡(θ+α)\left\{ f \left( \theta \right) \right\} ^{2} = 5 - 4 \cos \left( \theta + \alpha \right) ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 삼각형 ADP{\mathrm{ADP}}에서 사인법칙에 의하여 1sin⁡θ=2sin⁡α\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} = \frac{2}{\sin \alpha}에서 sin⁡α=2sin⁡θ\sin \alpha = 2 \sin \theta 이 식의 양변을 θ\theta에 대하여 미분하면 cos⁡αdαdθ=2cos⁡θ\displaystyle \cos \alpha \frac{d \alpha}{d \theta} = 2 \cos \theta에서 dαdθ=2cos⁡θcos⁡α\displaystyle \frac{d \alpha}{d \theta} = \frac{2 \cos \theta}{\cos \alpha} ㉠의 양변을 θ\theta에 대하여 미분하면 2f(θ)f′(θ)=4sin⁡(θ+α)(1+dαdθ)\displaystyle 2 f \left( \theta \right) f' \left( \theta \right) = 4 \sin \left( \theta + \alpha \right) \left( 1 + \frac{d \alpha}{d \theta} \right) f(θ)f′(θ)=2sin⁡(θ+α)(1+2cos⁡θcos⁡α)\displaystyle f \left( \theta \right) f' \left( \theta \right) = 2 \sin \left( \theta + \alpha \right) \left( 1 + \frac{2 \cos \theta}{\cos \alpha} \right) θ=θ0\theta = \theta _{0}일 때 α\alpha의 값을 α0\alpha _{0}이라 하면 cos⁡θ0=78\displaystyle \cos \theta _{0} = \frac{7}{8}이므로 sin⁡θ0=158\displaystyle \sin \theta _{0} = \frac{\sqrt{15}}{8}이고, sin⁡α0=2sin⁡θ0=154\displaystyle \sin \alpha _{0} = 2 \sin \theta _{0} = \frac{\sqrt{15}}{4}, cos⁡α0=14\displaystyle \cos \alpha _{0} = \frac{1}{4} cos⁡(θ0+α0)\cos \left( \theta _{0} + \alpha _{0} \right)=cos⁡θ0cos⁡α0−sin⁡θ0sin⁡α0= \cos \theta _{0} \cos \alpha _{0} - \sin \theta _{0} \sin \alpha _{0} =78×14−158×154=−14\displaystyle = \frac{7}{8} \times \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15}}{8} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = - \frac{1}{4} 이므로 sin⁡(θ0+α0)=154\displaystyle \sin \left( \theta _{0} + \alpha _{0} \right) = \frac{\sqrt{15}}{4} ㉠에 의하여 {f(θ0)}2=5−4×(−14)=6\displaystyle \left\{ f \left( \theta _{0} \right) \right\} ^{2} = 5 - 4 \times \left( - \frac{1}{4} \right) = 6 에서 f(θ0)=6\displaystyle f \left( \theta _{0} \right) = \sqrt{6} 6f′(θ0)=2×154×(1+7)\displaystyle \sqrt{6} f' \left( \theta _{0} \right) = 2 \times \frac{\sqrt{15}}{4} \times \left( 1 + 7 \right) 그러므로 k=f′(θ0)=210\displaystyle k = f' \left( \theta _{0} \right) = 2 \sqrt{10} 따라서 k2=40k ^{2} = 40

태그

#합성함수의 미분법#코사인법칙#삼각함수의 미분

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로