원과 삼각형 넓이 극한

[출제의도] 함수의 극한을 이용한 도형 문제 해결하기

원의 접선에 대한 성질에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} ^{2} = \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{OP}}$이다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = t ^{2}$이다. $\therefore$$\displaystyle r ( t ) = \frac{\overline{\mathrm{OA}} + \overline{\mathrm{OP}}}{2} = \frac{1}{2} \left( t ^{2} + 1 \right)$ $\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AP}} \times \overline{\mathrm{OQ}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( t ^{2} - 1 \right) \times t$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{S ( t )}{t \times r ( t )}} = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{2} t \left( t ^{2} - 1 \right)}{\frac{1}{2} t \left( t ^{2} + 1 \right)}} = 1$ [다른 풀이]

원 $C$의 중심을 $\mathrm{B}$라 하면, 원 $C$가 $x$축과 접하므로 $\mathrm{B} \mathit{\left( t , r ( t ) \right)}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = r ( t ) = \sqrt{t ^{2} + \left\{ r ( t ) - 1 \right\} ^{2}}$ 양변을 제곱하면 $\left\{ r ( t ) \right\} ^{2} = t ^{2} + \left\{ r ( t ) \right\} ^{2} - 2 r ( t ) + 1$ 이다. 따라서 $\displaystyle r ( t ) = \frac{t ^{2} + 1}{2}$이다. 원의 중심 $\mathrm{B}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{OH}} - \overline{\mathrm{OA}}$$\displaystyle = \frac{t ^{2} + 1}{2} - 1$$\displaystyle = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = 2 \overline{\mathrm{AH}} = t ^{2} - 1$이고 $\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AP}} \times \overline{\mathrm{BH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( t ^{2} - 1 \right) \times t$ 이다. $\displaystyle \therefore \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{S ( t )}{t \times r ( t )}} = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{2} t \left( t ^{2} - 1 \right)}{\frac{1}{2} t \left( t ^{2} + 1 \right)}} = 1$