원과 삼각형 넓이 극한

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

선분 $\mathrm{AC}$가 원의 지름이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{APC} \mathit{=} \frac{\pi}{2}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = a , {\overline{\mathrm{AQ}}} = b$라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{APC}$와 $\mathrm{CPB}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle a \tan \theta = {\overline{\mathrm{CP}}} = ( 2 - a ) \tan 2 \theta$ $\displaystyle a = \frac{2 \tan 2 \theta}{\tan \theta + \tan 2 \theta}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 삼각형 $\mathrm{APQ}$는 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{AB}} = {\overline{AQ}} : {\overline{AC}}$, $a : 2 = b : a \sec \theta$ $\displaystyle b = \frac{1}{2} a ^{2} \sec \theta$ 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이를 $S ( \theta )$라 할 때, $S ( \theta )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times a \times \frac{1}{2} a ^{2} \sec \theta \times \sin \theta$$\displaystyle = \frac{1}{4} \times a ^{3} \times \tan \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \times \left( \frac{2 \tan 2 \theta}{\tan \theta + \tan 2 \theta} \right) ^{3} \times \tan \theta$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left\{ \frac{1}{4} \times \left( \frac{\frac{2 \tan 2 \theta}{2 \theta} \times 2}{\frac{\tan \theta}{\theta} + \frac{\tan 2 \theta}{2 \theta} \times 2} \right) ^{3} \times \frac{\tan \theta}{\theta} \right\} = \frac{16}{27}}$