원과 삼각형 도형 급수

[출제의도] 도형에 활용된 등비급수의 합을 구할 수 있는가? 원 $O _{1}$의 중심을 $\mathrm{O}$라 하고 점 $\mathrm{O}$에서 두 선분 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$, $\mathrm{A} _{2} B _{2}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{H} _{2}$라 하면 점 $\mathrm{H} _{1}$은 선분 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$의 중점이고 점 $\mathrm{H} _{2}$는 선분 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$의 중점이다. 또, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}$$$$\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}$이므로 세 점 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{H} _{2}$는 한 직선 위에 있다.

이때, $\displaystyle \angle {\mathrm{A} _{1} B _{1} A _{2}} = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{B} _{1} H _{1}} \times \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}}$$\displaystyle = 1 \times \frac{1}{\frac{1}{2}}$$= 2$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{A} _{1} C _{1} B _{1}$은 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이다. 또, $\displaystyle \angle {\mathrm{A} _{1} B _{2} A _{2}} = \angle {\mathrm{A} _{1} B _{1} A _{2}} = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \angle {\mathrm{A} _{2} C _{1} B _{2}} = \angle {\mathrm{A} _{1} C _{1} B _{1}} = \frac{\pi}{3}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{C} _{1} A _{2} B _{2}$는 정삼각형이다. 이때, $\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} A _{2}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{B} _{1} A _{2}} - \overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}$$= 3 - 2$$= 1$ 이므로 삼각형 $\mathrm{C} _{1} A _{2} B _{2}$는 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형이다. 그러므로 $S _{1}$$= 2 \times \left( \triangle \mathrm{A} _{1} A _{2} B _{1} \mathit{-} \triangle \mathrm{A} _{1} C _{1} B _{1} \right. )$ $\displaystyle = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin \frac{\pi}{3} \right)$ $\displaystyle = \sqrt{3}$ 또, 두 삼각형 $\mathrm{A} _{1} A _{2} B _{1}$, $\mathrm{A} _{2} A _{3} B _{2}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} A _{2}}$$$$\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} A _{3}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}$$$$\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{1}}$$$$\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{3} B _{2}}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} = 2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}} = 1$ 이므로 두 삼각형 $\mathrm{A} _{1} A _{2} B _{1}$, $\mathrm{A} _{2} A _{3} B _{2}$의 닮음비는 $2 : 1$이다. 따라서, 넓이의 비는 $4 : 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \frac{S _{1}}{1 - \frac{1}{4}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$