대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 삼각함수의 값

문제

그림과 같이 좌표평면에서 직선 y=2y = 2가 두 원 x2+y2=5x ^{2} + y ^{2} = 5, x2+y2=9x ^{2} + y ^{2} = 9와 제22사분면에서 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하자. 점 C(3,0)\mathrm{C} \left( 3 , 0 \right)에 대하여 ∠COA=α\angle \mathrm{COA} = \alpha, ∠COB=β\angle \mathrm{COB} = \beta라 할 때, sin⁡α×cos⁡β\sin \alpha \times \cos \beta의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이고, π2<α<β<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \beta < \pi) [4점]

β\beta α\alpha

①13\displaystyle \frac{1}{3}②112\displaystyle \frac{1}{12}③−16\displaystyle - \frac{\mathit{1}}{6}④−512\displaystyle - \frac{5}{12}⑤−23\displaystyle - \frac{2}{3}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 뜻 이해하기

α\alpha β\beta −1\mathit{-} 1 −5\displaystyle \mathit{-} \sqrt{5}

직선 y=2y = 2가 원 x2+y2=5x ^{2} + y ^{2} = 5와 제22사분면에서 만나는 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (−1,2)\left( - 1 , 2 \right)이고 OA‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \sqrt{5}이므로 sin⁡α=25\displaystyle \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} 직선 y=2y = 2가 원 x2+y2=9x ^{2} + y ^{2} = 9와 제22사분면에서 만나는 점 B\mathrm{B}의 좌표는 (−5,2)\displaystyle \left( - \sqrt{5} , 2 \right)이고 OB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = 3이므로 cos⁡β=−53\displaystyle \cos \beta = \mathit{-} \frac{\sqrt{5}}{3} 따라서 sin⁡α×cos⁡β\sin \alpha \times \cos \beta=25×(−53)\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \left( - \frac{\sqrt{5}}{3} \right)=−23\displaystyle = \mathit{-} \frac{2}{3}

태그

#삼각함수의 정의#원

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