원과 삼각함수 극한

$C$에서 $BP$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\displaystyle {\overline{CH}} = 2 \sqrt{3} \sin \theta$ $\displaystyle \angle BAC = \angle BPC = \frac{\pi}{3}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{PC}} = \frac{2}{\sqrt{3}} {\overline{CH}} = 4 \sin \theta$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}}$를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 반지름을 $r ( \theta )$이라 하면 $\displaystyle r \left( \theta \right) = \mathrm{\overline{PC}} \times \frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3} \sin \theta$ $\displaystyle S ( \theta ) = \pi \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin \theta \right) ^{2} = \frac{4}{3} \pi \sin ^{2} \theta$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{4}{3} \pi \times \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} = \frac{4}{3} \pi$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$이고, $60 a = 80$이다.