원과 사인법칙

두 호 ${\mathrm{AD}}$, ${\mathrm{DE}}$의 길이가 같으므로 두 호 ${\mathrm{AD}}$, ${\mathrm{DE}}$에 대한 원주각의 크기가 같다. $\angle \mathrm{DBA} = \mathit{\angle} \mathrm{EBD} = \mathit{\theta}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{AD}}} = k$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} : \overline{{\mathrm{BC}}} = \overline{{\mathrm{AD}}} : \overline{{\mathrm{CD}}}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = 2 k$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle k ^{2} = 2 ^{2} + \sqrt{6} ^{2} - 2 \times 2 \times \sqrt{6} \times \cos \theta$ $\displaystyle k ^{2} = 10 - 4 \sqrt{6} \cos \theta$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 2 k \right) ^{2} = \sqrt{6} ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times \sqrt{6} \times 4 \times \cos \theta$ $\displaystyle 2 k ^{2} = 11 - 4 \sqrt{6} \cos \theta$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $k = 1$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{8} \sqrt{6}$ $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{8} \sqrt{6} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$ 원 $C$의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A D}}}}{\sin \theta} = 2 R$에서 $\displaystyle R = \frac{2}{5} \sqrt{10}$ 따라서 원 $C$의 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( \frac{2}{5} \sqrt{10} \right) ^{2} = \frac{8}{5} \pi$