원과 사인·코사인법칙

직각삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ $\angle {\mathrm{BAC}} = \theta$라 하면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{{\overline{\mathrm{AC}}}} = \frac{4}{5}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{D}}$는 선분 ${\mathrm{AB}}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 3 \times \frac{2}{3} = 2$ 점 ${\mathrm{A}}$를 중심으로 하는 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 2$이다. 점 ${\mathrm{E}}$와 ${\mathrm{G}}$는 이 원 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = 2$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} - {\overline{\mathrm{AE}}} = 5 - 2 = 3$ 삼각형 ${\mathrm{ACG}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AG}}} ^{2} - 2 {\overline{\mathrm{AC}}} \cdot {\overline{\mathrm{AG}}} \cos \left( \angle {\mathrm{CAG}} \right)$ $\displaystyle \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} = 5 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cos \left( \angle {\mathrm{CAG}} \right)$ $24 = 29 - 20 \cos \left( \angle {\mathrm{CAG}} \right)$, $20 \cos \left( \angle {\mathrm{CAG}} \right) = 5$ $\therefore$ $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{CAG}} \right) = \frac{1}{4}$ $\angle {\mathrm{EAG}} = \angle {\mathrm{CAG}}$이므로 삼각형 ${\mathrm{AEG}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AE}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AG}}} ^{2} - 2 {\overline{\mathrm{AE}}} \cdot {\overline{\mathrm{AG}}} \cos \left( \angle {\mathrm{EAG}} \right)$ $\displaystyle = 2 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}$$= 6$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} = \sqrt{6}$ 삼각형 ${\mathrm{CEG}}$에서 세 변의 길이는 각각 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} = \sqrt{6}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} = 2 \sqrt{6}$ 이므로 코사인법칙에 의하여 $\cos \left( \angle \mathrm{CGE} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{EG}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CG}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CE}}} ^{2}}{2 \cdot {\overline{\mathrm{EG}}} \cdot {\overline{\mathrm{CG}}}}$ $\displaystyle = \frac{\left( \sqrt{6} \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 \sqrt{6}}$ $\displaystyle = \frac{6 + 24 - 9}{24}$$\displaystyle = \frac{7}{8}$ $\therefore$ $\displaystyle \sin ^{2} \left( \angle {\mathrm{CGE}} \right) = 1 - \cos ^{2} \left( \angle {\mathrm{CGE}} \right) = 1 - \left( \frac{7}{8} \right) ^{2} = \frac{15}{64}$ $\angle {\mathrm{CGE}}$는 삼각형의 내각이므로 $\sin \left( \angle {\mathrm{CGE}} \right) > 0$ $\therefore$ $\displaystyle \sin \left( \angle {\mathrm{CGE}} \right) = \frac{\sqrt{15}}{8}$ 이때 삼각형 ${\mathrm{CEG}}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하면 삼각형 ${\mathrm{CEG}}$에서 사인법칙에 의하여 $2 R$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{CE}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{CGE} \right)}$$\displaystyle = \frac{3}{\frac{\sqrt{15}}{8}}$$\displaystyle = \frac{24}{\sqrt{15}}$$\displaystyle = \frac{8 \sqrt{15}}{5}$ $\angle \mathrm{HCG} = \angle \mathrm{BAC}$이므로 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{HCG} \right) = \frac{4}{5}$ ($\because$ ㉠) 네 점 ${\mathrm{C}}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$는 한 원 위에 있으므로 삼각형 $\mathrm{CGH}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{GH}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{HCG}} \right)} = 2 R$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}}$$= 2 R \sin \left( \angle \mathrm{HCG} \right)$$\displaystyle = \frac{8 \sqrt{15}}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{32 \sqrt{15}}{25}$