공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 포물선 사이 넓이

문제

그림과 같이 중심이 원점인 원과 폭이 같은 두 곡선이 만나는 네 점 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D가 있다. 이차함수 y=12x2\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}의 그래프 위에 있는 점 A\mathrm{A}의 xx좌표가 22이고, AB‾=CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{CD}일 때, 어두운 부분의 넓이는? [4점]

①π\pi②2π2 \pi③3π3 \pi④4π4 \pi⑤5π5 \pi

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③

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해설

[출제의도] 이차함수의 성질과 삼각비를 이용하여 부채꼴의 넓이 구하기

보조선 OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}를 그으면 가의 넓이와 나의 넓이가 같으므로 어두운 부분의 넓이는 부채꼴 OAC\mathrm{OAC}의 넓이와 같다. 이차함수 y=12x2\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} 위의 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (2,2)( 2 , 2 )이므로 피타고라스의 정리와 삼각비를 이용하면 OA‾=22,∠AOP=45∘\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = 2 \sqrt{2} , \angle \mathrm{AOP} = 45 ^\circ이다. 따라서, 중심각의 크기가 135∘135 ^\circ인 부채꼴 OAC\mathrm{OAC}의 넓이는 π(22)2⋅135∘360∘=3π\displaystyle \pi ( 2 \sqrt{2} ) ^{2} \cdot \frac{135 ^\circ}{360 ^\circ} = 3 \pi이다.

태그

#부채꼴 넓이#이차함수#대칭

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