원과 포물선 넓이 극한

$y = x ^{2}$과 $y = tx$를 연립하여 정리하면 $x ( x - t ) = 0$이고 $x > 0$이므로 $x = t$ 그러므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q} ( \mathit{t} , t ^{2} )$, 원점을 $\mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \mathit{t} \sqrt{1 + t ^{2}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = {\overline{OP}} - {\overline{OQ}} = \mathit{\sqrt{2}} - t \sqrt{1 + t ^{2}}$ $x ^{2} + y ^{2} = 2$와 $y = x ^{2}$을 연립하여 정리하면 $( y + 2 ) ( y - 1 ) = 0$이고 $y > 0$이므로 $y = 1$ $x ^{2} = 1$에서 $x > 0$이므로 $x = 1$ 그러므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{A} ( 1 , 1 )$ 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $y = tx$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $0 < t < 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} \frac{= \mathit{\left| t - 1 \right|}}{\sqrt{t ^{2} + 1}} = \frac{1 - t}{\sqrt{t ^{2} + 1}}$ 삼각형 $\mathrm{PAQ}$의 넓이 $S ( t )$는 $S ( t )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{PQ}} \times {\overline{AH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{2} - t \sqrt{1 + t ^{2}} \right) \times \frac{1 - t}{\sqrt{1 + t ^{2}}}$ 이므로 $k$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{S ( t )}{( 1 - t ) ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{\sqrt{2} - t \sqrt{1 + t ^{2}}}{2 ( 1 - t ) \sqrt{1 + t ^{2}}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{2 - t ^{2} ( 1 + t ^{2} )}{2 ( 1 - t ) \sqrt{1 + t ^{2}} \left( \sqrt{2} + t \sqrt{1 + t ^{2}} \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{( t ^{2} + 2 ) ( 1 - t ^{2} )}{2 ( 1 - t ) \sqrt{1 + t ^{2}} \left( \sqrt{2} + t \sqrt{1 + t ^{2}} \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {\frac{( t ^{2} + 2 ) ( 1 + t )}{2 \sqrt{1 + t ^{2}} \left( \sqrt{2} + t \sqrt{1 + t ^{2}} \right)}}$ $\displaystyle = \frac{3 \times 2}{2 \sqrt{2} \left( \sqrt{2} + \sqrt{2} \right)}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$ 따라서 $\displaystyle 20 k = 20 \times \frac{3}{4} = 15$