미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 무리함수 교점 극한

문제

좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 원 x2+y2=n2x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}과 곡선 y=x+n\displaystyle y = \sqrt{x + n}이 만나는 두 점 사이의 거리를 ana _{n}, 원의 지름의 길이를 bnb _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞(bn−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( b _{n} - a _{n} \right)}의 값은? [4점]

y=x+n\displaystyle y = \sqrt{x + n} x2+y2=n2x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}

①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 원 x2+y2=n2x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}과 곡선 y=x+n\displaystyle y = \sqrt{x + n}이 만나는 두 점은 (−n,0)\left( - n , 0 \right), (n−1,2n−1)\displaystyle \left( n - 1 , \sqrt{2 n - 1} \right)이므로 두 점 사이의 거리 an=4n2−2n\displaystyle a _{n} = \sqrt{4 n ^{2} - 2 n}이고 원의 지름의 길이 bn=2nb _{n} = 2 n이다. ∴\therefore lim⁡n→∞(bn−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( b _{n} - a _{n} \right)} =lim⁡n→∞(2n−4n2−2n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 n - \sqrt{4 n ^{2} - 2 n} \right)} =lim⁡n→∞(2n−4n2−2n)(2n+4n2−2n)2n+4n2−2n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 2 n - \sqrt{4 n ^{2} - 2 n} \right) \left( 2 n + \sqrt{4 n ^{2} - 2 n} \right)}{2 n + \sqrt{4 n ^{2} - 2 n}}} =lim⁡n→∞2n2n+4n2−2n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n}{2 n + \sqrt{4 n ^{2} - 2 n}}} =lim⁡n→∞22+4−2n=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{2 + \sqrt{4 - \frac{2}{n}}} = \frac{1}{2}}

태그

#수열의 극한#무리함수#원

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