대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 지수곡선

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 점 P(1,0)\mathrm{P} ( 1 , 0 )을 지나는 원과 곡선 y=ax(a>1)y = a ^{x} ( a > 1 )이 만나는 두 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하자. ∠APB=π12\displaystyle \mathrm{\angle} APB = \frac{\pi}{12}일 때, aa의 값은? [4점]

y=axy = a ^{x}

①76\displaystyle \frac{7}{6}②43\displaystyle \frac{4}{3}③32\displaystyle \frac{3}{2}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤116\displaystyle \frac{11}{6}

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②

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

y=axy = a ^{x} π6\displaystyle \frac{\pi}{6}

그림의 직각삼각형 AOC\mathrm{AOC}에서 OA‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 1이고 ∠AOC=π6\displaystyle \angle \mathrm{AOC} = \frac{\pi}{6}이므로 AC‾=12\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{1}{2}, OC‾=32\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} 이다. 따라서 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (−12,32)\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)이므로 y=axy = a ^{x}에서 32=a−12\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = a ^{- \frac{1}{2}}이고 a=43\displaystyle a = \frac{4}{3}이다. [다른풀이]

y=axy = a ^{x} 23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi

∠APB=π12\displaystyle \mathrm{\angle} APB = \frac{\pi}{12}에서 원주각과 중심각의 관계에 의해 ∠AOB=π6\displaystyle \mathrm{\angle} AOB = \frac{\pi}{6}이므로 점 A\mathrm{A}의 xx좌표는 cos⁡23π=−12\displaystyle \cos \frac{2}{3} \pi = - \frac{1}{2}, yy좌표는 sin⁡23π=32\displaystyle \sin \frac{2}{3} \pi = \frac{\sqrt{3}}{2}이다. y=axy = a ^{x}에서 32=a−12\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = a ^{- \frac{1}{2}}이고 a=43\displaystyle a = \frac{4}{3}이다.

태그

#지수함수#원주각

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