원과 직선의 접점

두 점 ${\mathrm{A}} \mathit{(} 0 , 6 )$, ${\mathrm{B}} \mathit{(} 9 , 0 )$을 $2 : 1$로 내분하는 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 \times 9 + 1 \times 0}{2 + 1} , \frac{2 \times 0 + 1 \times 6}{2 + 1} \right)$ 이므로 ${\mathrm{P}} \mathit{(} 6 , 2 )$이다. 점 ${\mathrm{P}} \mathit{(} 6 , 2 )$가 원 $x ^{2} + y ^{2} - 2 a x - 2 b y = 0$ 위의 점이므로 $6 ^{2} + 2 ^{2} - 2 a \times 6 - 2 b \times 2 = 0$ $3 a + b = 10$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 원의 중심과 점 ${\mathrm{P}}$를 지나는 직선을 $l$이라 하면, 직선 $l$은 직선 ${\mathrm{AB}}$와 서로 수직이고 직선 ${\mathrm{AB}}$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{2}{3}$이므로 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다. 직선 $l$이 점 ${\mathrm{P}} \mathit{(} 6 , 2 )$를 지나므로 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{3}{2} ( x - 6 ) + 2$ 원의 방정식 $x ^{2} + y ^{2} - 2 a x - 2 b y = 0$을 정리하면 $( x - a ) ^{2} + ( y - b ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2}$ 원의 중심 $( a , b )$가 직선 $l$ 위의 점이므로 $\displaystyle b = \frac{3}{2} ( a - 6 ) + 2$ $3 a - 2 b = 14$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle a = \frac{34}{9}$, $\displaystyle b = - \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle a + b = \frac{34}{9} + \left( - \frac{4}{3} \right) = \frac{22}{9}$