원과 직선의 현 길이

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계와 관련된 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 원 $C : x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 2 ay + a ^{2} - 9 = 0$이 원점을 지나므로 $x = 0$, $y = 0$을 대입하면 $a ^{2} - 9 = 0$, $a ^{2} = 9$ $a = \mathit{-} 3$ 또는 $a = 3$ $a = \mathit{-} 3$일 때, 원 $C$의 방정식은 $x ^{2} + y ^{2} - 4 x + 6 y = 0$, $( x - 2 ) ^{2} + ( y + 3 ) ^{2} = 13$ $a = 3$일 때, 원 $C$의 방정식은 $x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 6 y = 0$, $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 13$

이때 $a = 3$이면 원 $C$는 직선 $y = \mathit{-} 2$와 만나지 않으므로 조건 (나)에 의하여 $a = \mathit{-} 3$이다. $( x - 2 ) ^{2} + ( y + 3 ) ^{2} = 13$, $y = \mathit{-} 2$를 연립하면 $( x - 2 ) ^{2} + ( - 2 + 3 ) ^{2} = 13$ $\left( x - 2 \right) ^{2} = 12$ $x$$\displaystyle = 2 \pm 2 \sqrt{3}$ 따라서 원 $C$와 직선 $y = \mathit{-} 2$가 만나는 두 점의 좌표는 각각 $\displaystyle \left( 2 - 2 \sqrt{3} , - 2 \right)$, $\displaystyle \left( 2 + 2 \sqrt{3} , - 2 \right)$이므로 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle \left( 2 + 2 \sqrt{3} \right) - \left( 2 - 2 \sqrt{3} \right)$$\displaystyle = 4 \sqrt{3}$ [다른 풀이] $a = \mathit{-} 3$일 때, 원 $C$의 방정식은 $x ^{2} + y ^{2} - 4 x + 6 y = 0$ $( x - 2 ) ^{2} + ( y + 3 ) ^{2} = 13$ 따라서 원 $C$의 중심은 $\mathrm{A}$$( 2 , - 3 )$이고, 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{13}$이다.

원의 중심 $\mathrm{A}$$( 2 , - 3 )$에서 직선 $y = \mathit{-} 2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 원 $C$와 직선 $y = \mathit{-} 2$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{13}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 1$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = \sqrt{\left( \sqrt{13} \right) ^{2} - 1 ^{2}} = 2 \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle = 2 {\overline{\mathrm{PH}}}$$=$$\displaystyle 4 \sqrt{3}$