원과 직선의 교점

직선 $l$의 방정식을 $2 x - y + k = 0$이라 하고 원점 ${\mathrm{O}}$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분하므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} = \sqrt{5}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = \sqrt{10}$이고 삼각형 ${\mathrm{AHO}}$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}} = \sqrt{5}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}}$는 원점 ${\mathrm{O}}$와 직선 $l$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 2 \times 0 - 1 \times 0 + k \right|}{\sqrt{2 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = \sqrt{5}$ $k = 5$ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$는 직선 $l : 2 x - y + 5 = 0$이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 10$과 만나는 점이므로 $x ^{2} + \left( 2 x + 5 \right) ^{2} = 10$, $x ^{2} + 4 x + 3 = 0$ $x = - 1$ 또는 $x = - 3$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\left( - 1 , 3 \right)$, $\left( - 3 , - 1 \right)$이고 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$를 원점에 대하여 대칭이동한 점과 일치하므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( 1 , - 3 \right)$ 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $x$축과 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left( - 4 , - 3 \right)$ $a = - 4$, $b = - 3$ 따라서 $a + b = - 7$