원과 직선의 기울기

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 구한다. 원점에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HP}}} = b$라 하면 두 삼각형 $\mathrm{OHP}$, $\mathrm{OHA}$는 모두 직각삼각형이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 10$ $\cdots \cdots$ ㉠ $a ^{2} + \left( b + 3 \right) ^{2} = 25$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $a = 3$, $b = 1$ 직선 $l$의 기울기를 $m$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $y = m \left( x - 4 \right) + 3$이고 원의 중심 $\mathrm{O}$와 직선 $mx - y - 4 m + 3 = 0$ 사이의 거리가 $3$이므로 $\displaystyle \frac{\left| - 4 m + 3 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 3$ $\displaystyle \left| - 4 m + 3 \right| = 3 \sqrt{m ^{2} + 1}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $16 m ^{2} - 24 m + 9 = 9 m ^{2} + 9$ $7 m ^{2} - 24 m = 0$ $m \left( 7 m - 24 \right) = 0$ ∴ $m = 0$ 또는 $\displaystyle m = \frac{24}{7}$ 직선 $l$의 기울기는 양수이므로 $\displaystyle m = \frac{24}{7}$

[다른 풀이1] 직선 $\mathrm{AO}$와 원의 교점을 그림과 같이 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AO}} - \overline{\mathrm{OB}} = 5 - \sqrt{10}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{AO}}} + {\overline{\mathrm{OC}}} = 5 + \sqrt{10}$ 이고 원의 성질에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} \times {\overline{\mathrm{AQ}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AC}}}$ $\displaystyle 3 \times {\overline{\mathrm{AQ}}}$$\displaystyle = \left( 5 - \sqrt{10} \right) \left( 5 + \sqrt{10} \right)$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = 5$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2$이고 현 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = 1$ 직각삼각형 $\mathrm{OMP}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{\left( \sqrt{10} \right) ^{2} - 1 ^{2}} = 3$ 직선 $l$의 기울기를 $m$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $y = m \left( x - 4 \right) + 3$이고 원의 중심 $\mathrm{O}$와 직선 $mx - y - 4 m + 3 = 0$ 사이의 거리가 $3$이므로 $\displaystyle \frac{\left| - 4 m + 3 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 3$ $\displaystyle \left| - 4 m + 3 \right| = 3 \sqrt{m ^{2} + 1}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $16 m ^{2} - 24 m + 9 = 9 m ^{2} + 9$ $7 m ^{2} - 24 m = 0$ $m \left( 7 m - 24 \right) = 0$ ∴ $m = 0$ 또는 $\displaystyle m = \frac{24}{7}$ 직선 $l$의 기울기는 양수이므로 $\displaystyle m = \frac{24}{7}$

[다른 풀이2] 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$라 하면 점 $\mathrm{P}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 10$위의 점이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 10$ $\cdots \cdots$ ㉠ 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는 $3$이므로 $\left( a - 4 \right) ^{2} + \left( b - 3 \right) ^{2} = 9$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle a = \frac{79}{25}$, $\displaystyle b = \frac{3}{25}$이다. 따라서 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - b}{4 - a} = \frac{3 - \frac{3}{25}}{4 - \frac{79}{25}} = \frac{72}{21} = \frac{24}{7}$이다.