공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 현의 길이

문제

[12 ~ 13] 그림은 원 (x+1)2+(y−3)2=4{( x + 1 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 4}와 직선 y=mx+2{y = mx + 2}를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 12번과 13번의 두 물음에 답하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.)

원과 직선의 두 교점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 할 때, 선분 AB\mathrm{A} B의 길이가 22\displaystyle 2 \sqrt{2}가 되도록 하는 상수 mm의 값은? [3점] ①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③11④2\displaystyle \sqrt{2}⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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③

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해설

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 구한다. 원의 중심을 C\mathrm{C}, 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라고 하면, 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 AH‾=BH‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = {\overline{BH}} = \sqrt{2} CH‾=AC‾2−AH‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} \mathrm{=} \sqrt{{\overline{\mathrm{AC} \mathit{}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH} \mathit{}}} ^{2}}=22−(2)2\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} - ( \sqrt{2} ) ^{2}}=2\displaystyle = \sqrt{2} 이때 선분 CH\mathrm{C} H의 길이는 원의 중심 C\mathrm{C}(−1- 1, 33)과 직선 mx−y+2=0mx - y + 2 = 0 사이의 거리와 같으므로 ∣m×(−1)−3+2∣m2+(−1)2=2\displaystyle \frac{\left| m \times ( - 1 ) - 3 + 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = \sqrt{2} ∣m+1∣=2m2+1\displaystyle \left| m + 1 \right| = \sqrt{2} \sqrt{m ^{2} + 1} 양변을 제곱하면 (m+1)2=2(m2+1)( m + 1 ) ^{2} = 2 ( m ^{2} + 1 ) m2+2m+1=2m2+2m ^{2} + 2 m + 1 = 2 m ^{2} + 2 m2−2m+1=0m ^{2} - 2 m + 1 = 0 (m−1)2=0( m - 1 ) ^{2} = 0 ∴ m=1m = 1

태그

#원과 직선#현의 길이

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