원과 직선 활꼴 넓이

점 $\mathrm{O}$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 선분 $\mathrm{OH}$의 길이는 점 $\mathrm{O}$와 직선 $l$ 사이의 거리이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \frac{\left| 2 \times 0 - 2 \times 0 \mathit{+} \sqrt{6} r \right|}{\sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}}}$$\displaystyle = {\square {\frac{\sqrt{3}}{2} r}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \mathit{r}$이거, $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} \frac{= \mathit{\sqrt{3}}}{2} r$이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 정삼각형이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle {\square {\frac{\sqrt{3}}{4} r ^{2}}}$이다. $S ( r )$는 부채꼴 의 넓이와 삼각형 $\displaystyle = {\square {\frac{\sqrt{3}}{2} r}}$의 넓이의 차이므로 $\displaystyle S ( r ) = \pi r ^{2} \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{4} r ^{2}$$\displaystyle = \pi r ^{2} \times \left( {\square {\frac{1}{6}}} \right) - {\square {\frac{\sqrt{3}}{4} r ^{2}}}$ $\displaystyle f ( r ) = \frac{\sqrt{3}}{2} r$, $\displaystyle g ( r ) = \frac{\sqrt{3}}{4} r ^{2}$, $\displaystyle k = \frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{1}{k} \right) \times g \left( \frac{1}{k} \right) = 81$