원과 직선 기울기 극한

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

$\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{H} _{\mathit{n}}$

원주각과 중심각의 관계에 의하여 $\mathrm{\angle} A _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} = 60 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} A _{\mathit{n}} OB _{\mathit{n}} = 120 ^\circ$ 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{\mathit{n}}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} OB _{\mathit{n}}$이 이등변 삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{\mathit{n}}}} = \mathit{n} , \mathrm{\angle} A _{\mathit{n}} OH _{\mathit{n}} = 60 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH _{\mathit{n}}}} = \frac{\mathit{n}}{2}$ 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $a _{n} x - y - \left( n + 1 \right) a _{n} = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\mathit{n}}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| - \left( n + 1 \right) a _{n} \right|}{\sqrt{a _{n} ^{2} + 1}} = \frac{n}{2}$ $\displaystyle \frac{( n + 1 ) ^{2} a _{n} ^{2}}{a _{n} ^{2} + 1} = \frac{n ^{2}}{4}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} ^{2}}{a _{n} ^{2} + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ^{2}}{4 ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{4}}$