미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 직사각형 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}인 원 OO의 내부에 가로, 세로의 길이의 비가 1:3\displaystyle 1 : \sqrt{3}인 크기가 같은 직사각형 33개를 각각의 긴 변 중 한 변은 원 OO의 현이 되고 나머지 긴 변은 다른 두 직사각형과 각각 한 꼭짓점에서 만나도록 그리고 세 직사각형의 변에 의해 만들어진 정삼각형에 내접하는 원을 O1O _{1}이라 하고 세 직사각형을 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 원 O1O _{1}의 내부에 가로, 세로의 길이의 비가 1:3\displaystyle 1 : \sqrt{3}인 크기가 같은 직사각형 33개를 그리고 세 직사각형의 변에 의해 만들어진 정삼각형에 내접하는 원을 O2O _{2}라 하고 세 직사각형을 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 원 O2O _{2}의 내부에 가로, 세로의 길이의 비가 1:3\displaystyle 1 : \sqrt{3}인 크기가 같은 직사각형 33개를 그리고 세 직사각형의 변에 의해 만들어진 정삼각형에 내접하는 원을 O3O _{3}이라 하고 세 직사각형을 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에서 색칠된 모든 직사각형의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 하자. lim⁡n→∞Sn=qp3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{q}{p}} \sqrt{3}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

⋯\cdots
R1R _{1}R2R _{2}R3R _{3}⋯\cdots
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47

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해설

[출제의도] 무한급수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 원 OO의 중심을 A\mathrm{A}, 한 직사각형의 긴 변의 중점을 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, 직사각형의 꼭짓점을 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}, F\mathrm{F}, G\mathrm{G}라 하자.

원 O1O _{1}의 반지름을 rr라 하면 ∠AEB=π6\displaystyle \angle \mathrm{AEB} = \frac{\pi}{6}이므로 BE‾=3r\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} = \sqrt{3} r이므로 EF‾=23r\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} = 2 \sqrt{3} r, DE‾=2r\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = 2 r, AC‾=3r\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 3 r, CD‾=3r\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{3} r △ACD\triangle \mathrm{ACD}가 직각삼각형이므로 (3r)2+(3r)2=(3)2\displaystyle \left( 3 r \right) ^{2} + \left( \sqrt{3} r \right) ^{2} = \left( \sqrt{3} \right) ^{2} ∴\therefore r=12\displaystyle r = \frac{1}{2} S1=3×23r×2r=123r2=33\displaystyle S _{1} = 3 \times 2 \sqrt{3} r \times 2 r = 12 \sqrt{3} r ^{2} = 3 \sqrt{3} 원 OO과 원 O1O _{1}의 반지름의 닮음비가 1:123\displaystyle 1 : \frac{1}{2 \sqrt{3}}이다. 같은 방법으로 원 OnO _{n}과 원 On+1O _{n + 1}의 반지름의 닮음비도 1:123\displaystyle 1 : \frac{1}{2 \sqrt{3}}이다. 원 OnO _{n}의 내부와 원 On+1O _{n + 1}의 외부에 있는 세 직사각형의 넓이의 합과 원 On+1O _{n + 1}의 내부와 원 On+2O _{n + 2}의 외부에 있는 세 직사각형의 넓이의 합의 비는 12:(123)2\displaystyle 1 ^{2} : \left( \frac{1}{2 \sqrt{3}} \right) ^{2}=1:112\displaystyle = 1 : \frac{1}{12} ∴ lim⁡n→∞Sn=331−112=36113=qp3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \frac{3 \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{36}{11} \sqrt{3} = \frac{q}{p} \sqrt{3} 따라서 p+q=47p + q = 47

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