미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 접선 사각형 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 C1C _{1}과 점 B\mathrm{B}를 중심으로 하고 원 C1C _{1} 위의 점 P\mathrm{P}를 지나는 원 C2C _{2}가 있다. 원 C1C _{1}의 중심 O\mathrm{O}에서 원 C2C _{2}에 그은 두 접선의 접점을 각각 Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}라 하자. ∠PAB=θ\mathrm{\angle} PAB = \theta일 때, 사각형 ORBQ\mathrm{ORBQ}의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta}}의 값은? (단, 0<θ<π6\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{6}) [4점]

①22②3\displaystyle \sqrt{3}③11④32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한값을 추론한다. AB‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2이므로 직각삼각형 ABP\mathrm{ABP}에서 BP‾=2sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = 2 \sin \theta 두 선분 BP\mathrm{BP}, BQ\mathrm{BQ}는 모두 원 C2C _{2}의 반지름이므로 BP‾=BQ‾=2sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = {\overline{\mathrm{BQ}}} = 2 \sin \theta OB‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = 1이므로 피타고라스 정리에 의해 직각삼각형 OBQ\mathrm{OBQ}에서 OQ‾=1−4sin⁡2θ\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = \sqrt{1 - 4 \sin ^{2} \theta} 즉 S(θ)=2sin⁡θ1−4sin⁡2θ\displaystyle S \left( \theta \right) = 2 \sin \theta \sqrt{1 - 4 \sin ^{2} \theta} 따라서 구하는 극한값은 lim⁡θ→0+S(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta}}=lim⁡θ→0+2sin⁡θ1−4sin⁡2θθ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{2 \sin \theta \sqrt{1 - 4 \sin ^{2} \theta}}{\theta}}=2= 2

태그

#삼각함수의 극한#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로