미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 정삼각형 급수

문제

반지름의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}인 원 OO가 있다. 그림과 같이 원 OO 위의 한 점 A\mathrm{A}에 대하여 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}를 높이가 원 OO의 반지름의 길이와 같고 선분 BC\mathrm{BC}의 중점이 원 OO 위의 점이 되도록 그린다. 그리고 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 합동인 정삼각형 DEF\mathrm{DEF}를 점 D\mathrm{D}가 원 OO 위에 있고 네 점 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, E\mathrm{E}, F\mathrm{F}가 한 직선 위에 있도록 그린다. 원 OO의 내부와 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 내부의 공통부분인 모양의 도형과 원 OO의 내부와 정삼각형 DEF\mathrm{DEF}의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 두 선분 AC\mathrm{AC}, DE\mathrm{DE}에 동시에 접하고 원 OO에 내접하는 원을 그린 후, 새로 그려진 원에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

R1R _{1}R2R _{2}
⋯\cdots
R3R _{3}⋯\cdots

①2π−3\displaystyle 2 \pi - \sqrt{3}②4π−33\displaystyle \frac{4 \pi - \sqrt{3}}{3}③6π−334\displaystyle \frac{6 \pi - 3 \sqrt{3}}{4}④16π−437\displaystyle \frac{16 \pi - 4 \sqrt{3}}{7}⑤18π−9310\displaystyle \frac{18 \pi - 9 \sqrt{3}}{10}

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 등비급수의 합을 추론한다.

그림 R1R _{1}에서 선분 BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}, 선분 EF\mathrm{EF}의 중점을 N\mathrm{N}, 원 OO의 중심을 P\mathrm{P}라 하면, AM‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = \sqrt{3}이고 삼각형 PAM\mathrm{PAM}이 정삼각형이므로 ∠APM=π3\displaystyle \angle \mathrm{APM} = \frac{\pi}{3}이다. S1=2×S _{1} = 2 \times{(부채꼴 PAM\mathrm{PAM}의 넓이) −-(삼각형 PAM\mathrm{PAM}의 넓이)++(삼각형 AMC\mathrm{AMC}의 넓이)} =2×(π2−334+32)\displaystyle = 2 \times \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=π−32\displaystyle = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2}

직선 AC\mathrm{AC}와 직선 DE\mathrm{DE}의 교점을 Q\mathrm{Q}라 하자. ∠AQP=∠CAM=π6\displaystyle \angle \mathrm{AQP} = \angle CAM = \frac{\pi}{6}(엇각) ∠DQP=∠EDN=π6\displaystyle \angle \mathrm{DQP} = \angle EDN = \frac{\pi}{6}(엇각)이므로 ∠AQD=π3\displaystyle \angle \mathrm{AQD} = \frac{\pi}{3} 호 AD\mathrm{AD}의 중심각 ∠APD=23π\displaystyle \angle \mathrm{APD} = \frac{2}{3} \pi이고 호 AD\mathrm{AD}의 원주각의 크기는 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}이므로, 점 Q\mathrm{Q}는 원 OO 위의 점이다.

R2R _{2}에서 새로 그려진 원은 위 그림과 같이 높이가 원 OO의 지름과 같고 점 Q\mathrm{Q}를 한 꼭짓점으로 하는 정삼각형에 내접한다. 새로 그려진 원의 중심은 이 정삼각형의 무게중심이므로 반지름의 길이는 233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}이다. 원의 닮음비가 3:233=3:2\displaystyle \sqrt{3} : \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 3 : 2이고 넓이의 비는 9:49 : 4이므로 R2R _{2}에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이는 49S1\displaystyle \frac{4}{9} S _{1}이다. Rn+1R _{n + 1}에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이는 RnR _{n}에서 추가로 색칠된 도형의 넓이의 49\displaystyle \frac{4}{9}배이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=π−321−49\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{4}{9}}=18π−9310\displaystyle = \frac{18 \pi - 9 \sqrt{3}}{10}

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로