미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 정삼각형 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 22인 원 O1O _{1}에 내접하는 정삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}이 있다. 점 A1\mathrm{A} _{1}에서 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}에 내린 수선의 발을 D1\mathrm{D} _{1}이라 하고, 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}을 2:12 : 1로 내분하는 점을 E1\mathrm{E} _{1}이라 하자. 점 A1\mathrm{A} _{1}을 포함하지 않는 호 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 A1D1E1\mathrm{A} _{1} D _{1} E _{1}의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 삼각형 A1B1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} D _{1}에 내접하는 원 O2O _{2}와 원 O2O _{2}에 내접하는 정삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}를 그리고, 점 A2\mathrm{A} _{2}에서 선분 B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}에 내린 수선의 발을 D2\mathrm{D} _{2}, 선분 A2C2\mathrm{A} _{2} C _{2}를 2:12 : 1로 내분하는 점을 E2\mathrm{E} _{2}라 하자. 점 A2\mathrm{A} _{2}를 포함하지 않는 호 B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}와 선분 B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 A2D2E2\mathrm{A} _{2} D _{2} E _{2}의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①16(33−2)π69\displaystyle \frac{16 \left( 3 \sqrt{3} - 2 \right) \pi}{69}②16(33−1)π65\displaystyle \frac{16 \left( 3 \sqrt{3} - 1 \right) \pi}{65}③32(33−2)π69\displaystyle \frac{32 \left( 3 \sqrt{3} - 2 \right) \pi}{69}④32(33−1)π69\displaystyle \frac{32 \left( 3 \sqrt{3} - 1 \right) \pi}{69}⑤32(33−1)π65\displaystyle \frac{32 \left( 3 \sqrt{3} - 1 \right) \pi}{65}

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③

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해설

△A1D1E1=23×△A1C1D1=3\displaystyle \triangle A _{1} D _{1} E _{1} = \frac{2}{3} \times \triangle A _{1} C _{1} D _{1} = \sqrt{3} ∴R1=3+(43π−3)=43π\displaystyle R _{1} = \sqrt{3} + ( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} ) = \frac{4}{3} \pi

∠O′B1D1=30∘\angle O' B _{1} D _{1} = 30 ^\circ 이므로 B1D1=(1+3)r\displaystyle B _{1} D _{1} = ( 1 + \sqrt{3} ) r 3=(1+3)r\displaystyle \sqrt{3} = ( 1 + \sqrt{3} ) r r=3−32\displaystyle r = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} O1O _{1}와 O2O _{2} 의 길이 비는 2:3−32=1:3−34\displaystyle 2 : \frac{3 - \sqrt{3}}{2} = 1 : \frac{3 - \sqrt{3}}{4} 이므로 넓이비는 1:(3−32)2\displaystyle 1 : \left( \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \right) ^{2} 넓이에 대한 공비는 6−338\displaystyle \frac{6 - 3 \sqrt{3}}{8} ∴lim⁡n→∞Sn=43π1−6−338=32(33−2)π69\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\mathrm{S} _{\mathit{n}}} \mathit{=} \frac{\frac{4}{3} \pi}{1 - \frac{6 - 3 \sqrt{3}}{8}} = \frac{32 \left( 3 \sqrt{3} - 2 \right) \pi}{69}

태그

#등비급수#도형

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