미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 정사각형 등비급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형에 내접하는 원 O1O _{1}이 있다. 정사각형과 원 O1O _{1}의 접점을 각각 A1\mathrm{A} _{1}, B1\mathrm{B} _{1}, C1\mathrm{C} _{1}, D1\mathrm{D} _{1}이라 할 때, 원 O1O _{1}과 두 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 두 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}을 각각 3:13 : 1로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 O1O _{1}의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 O2O _{2}라 하고 그 접점을 각각 A2\mathrm{A} _{2}, B2\mathrm{B} _{2}, C2\mathrm{C} _{2}, D2\mathrm{D} _{2}라 할 때, 원 O2O _{2}와 두 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에서 두 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}를 각각 3:13 : 1로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 R1R _{1}에서 그림 R2R _{2}를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

⋯\cdots

①3211(π−2)\displaystyle \frac{32}{11} \left( \pi - 2 \right)②3411(π−2)\displaystyle \frac{34}{11} \left( \pi - 2 \right)③3611(π−2)\displaystyle \frac{36}{11} \left( \pi - 2 \right)④3211(π−1)\displaystyle \frac{32}{11} \left( \pi - 1 \right)⑤3411(π−1)\displaystyle \frac{34}{11} \left( \pi - 1 \right)

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①

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 R1R _{1}에서 S1=2×(14×22×π−12×2×2)=2(π−2)\displaystyle S _{1} = 2 \times \left( \frac{1}{4} \times 2 ^{2} \times \pi - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \right) = 2 \left( \pi - 2 \right) 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다.

그림에서 AnBn‾=a\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}} = a라 하자. 두 선분 AnBn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}, BnCn\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}을 각각 3:13 : 1로 내분하는 두 점을 En\mathrm{E} _{\mathit{n}}, Fn\mathrm{F} _{\mathit{n}}이라 하면, BnEn‾=14a\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}}} = \frac{1}{4} \mathit{a}, BnFn‾=34a\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} = \frac{3}{4} \mathit{a} EnFn‾=(BnEn‾)2+(BnFn‾)2=104a\displaystyle \mathrm{\overline{E _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} = \sqrt{\left( {\overline{B _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}}} \right) ^{2} + \left( {\overline{B _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \mathit{a} ∴\therefore An+1Bn+1‾=22EnFn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} B _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}}}} =22×104a=54AnBn‾\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{4} a = \frac{\sqrt{5}}{4} {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} {}_{}}} 두 정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}, An+1Bn+1Cn+1Dn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}은 서로 닮음이고, 닮음비는 1:54\displaystyle 1 : \frac{\sqrt{5}}{4}이다. 그러므로 그림 RnR _{n}에서 새로 얻어진 모양의 도형과 그림 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 1:54\displaystyle 1 : \frac{\sqrt{5}}{4}이다. 따라서 SnS _{n}은 첫째항이 2(π−2)2 \left( \pi - 2 \right)이고 공비가 (54)2=516\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}}{4} \right) ^{2} = \frac{5}{16}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. ∴\therefore lim⁡n→∞Sn=2(π−2)1−516=3211(π−2)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{2 \left( \pi - 2 \right)}{1 - \frac{5}{16}}} = \frac{32}{11} \left( \pi - 2 \right)

태그

#등비급수#도형#닮음비

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