원과 정사각형 등비급수

한 변의 길이가 $4$인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 $2$인 두 원이 서로 한 점 $\mathrm{P} _{1}$에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\mathrm{Q} _{1}$이라 하고, 선분 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$을 대각선으로 하는 정사각형 $R _{1}$을 그린다. 이때, $R _{1}$의 한 변의 길이를 $l _{1}$이라 하자. 지름이 $\displaystyle \frac{l _{1}}{2}$인 두 원이 서로 한 점 $\mathrm{P} _{2}$에서 만나고 정사각형 $R _{1}$의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R _{1}$의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\mathrm{Q} _{2}$라 하고, 선분 $\mathrm{P} _{2} Q _{2}$를 대각선으로 하는 정사각형 $R _{2}$를 그린다. 이때, $R _{2}$의 한 변의 길이를 $l _{2}$라 하자. 지름이 $\displaystyle \frac{l _{2}}{2}$인 두 원이 서로 한 점 $\mathrm{P} _{3}$에서 만나고 정사각형 $R _{2}$의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R _{2}$의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\mathrm{Q} _{3}$이라 하고, 선분 $\mathrm{P} _{3} Q _{3}$을 대각선으로 하는 정사각형 $R _{3}$을 그린다. 이때, $R _{3}$의 한 변의 길이를 $l _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 그린 정사각형 $R _{n}$의 한 변의 길이를 $l _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{12 ( 3 + 4 \sqrt{2} )}{23}$②$\displaystyle \frac{24 ( 2 + \sqrt{2} )}{23}$③$\displaystyle \frac{12 ( 1 + 4 \sqrt{2} )}{23}$④$\displaystyle \frac{3 ( 3 + 2 \sqrt{2} )}{7}$⑤$\displaystyle \frac{3 ( 3 + \sqrt{2} )}{7}$