미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 정사각형 등비급수

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 OO가 있다. 원의 중심을 C\mathrm{C}라 하고, 선분 AC\mathrm{AC}의 중점과 선분 BC\mathrm{BC}의 중점을 각각 D\mathrm{D}, P\mathrm{P}라 하자. 선분 AC\mathrm{AC}의 수직이등분선과 선분 BC\mathrm{BC}의 수직이등분선이 원 OO의 위쪽 반원과 만나는 점을 각각 E\mathrm{E}, Q\mathrm{Q}라 하자. 선분 DE\mathrm{DE}를 한 변으로 하고 원 OO와 점 A\mathrm{A}에서 만나며 선분 DF\mathrm{DF}가 대각선인 정사각형 DEFG\mathrm{DEFG}를 그리고, 선분 PQ\mathrm{PQ}를 한 변으로 하고 원 OO와 점 B\mathrm{B}에서 만나며 선분 PR\mathrm{PR}가 대각선인 정사각형 PQRS\mathrm{PQRS}를 그린다. 원 OO의 내부와 정사각형 DEFG\mathrm{DEFG}의 내부의 공통부분인 모양의 도형과 원 OO의 내부와 정사각형 PQRS\mathrm{PQRS}의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 점 F\mathrm{F}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 12DE‾\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} {\overline{DE}}인 원 O1O _{1}, 점 R\mathrm{R}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 12PQ‾\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \overline{PQ}인 원 O2O _{2}를 그린다. 두 원 O1O _{1}, O2O _{2}에 각각 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 22개의 도형과 모양의 22개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①12π−9310\displaystyle \frac{12 \pi - 9 \sqrt{3}}{10}②8π−635\displaystyle \frac{8 \pi - 6 \sqrt{3}}{5}③32π−24315\displaystyle \frac{32 \pi - 24 \sqrt{3}}{15}④28π−21310\displaystyle \frac{28 \pi - 21 \sqrt{3}}{10}⑤16π−1235\displaystyle \frac{16 \pi - 12 \sqrt{3}}{5}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 도형의 넓이를 등비급수의 합을 이용하여 구할 수 있는가? 그림 R1R _{1}에서 아래 그림과 같이 두 점 C,Q\mathrm{C} , Q를 연결하여 직각삼각형 QCP\mathrm{QCP}를 만든다.

직각삼각형 QCP\mathrm{QCP}에서 CQ‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = 2, CP‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = 1이므로 PQ‾=CQ‾2−CP‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{\overline{CQ} ^{2} - \overline{CP} ^{2}} =22−12\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} - 1 ^{2}} =3\displaystyle = \sqrt{3} 이때, ∠QCP=π3\displaystyle \mathrm{\angle} QCP = \frac{\pi}{3}이다. 그러므로 도형 R1R _{1}에 색칠된 부분의 넓이는 2{(부채꼴QCB의넓이)−(△QCP의넓이)}\mathrm{2} \left\{ ( \text{부채꼴} QCB \text{의} \text{넓이} ) - ( \triangle QCP \text{의} \text{넓이} ) \right\} =2{12×22×π3−12×1×3}\displaystyle = 2 \left\{ \frac{1}{2} \times 2 ^{2} \times \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} \right\} =43π−3\displaystyle = \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} …………………………………………… ㉠ 한편 그림 R2R _{2}에서 새로 그려진 원의 반지름의 길이는 12DE‾=12PQ‾=32\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \overline{DE} = \frac{1}{2} \overline{PQ} = \frac{\sqrt{3}}{2} 그러므로 그림 R1R _{1}에 있는 원과 그림 R2R _{2}에 있는 원의 반지름의 길이의 비는 2:32\displaystyle 2 : \frac{\sqrt{3}}{2} 즉, 1:34\displaystyle 1 : \frac{\sqrt{3}}{4}이다. 이때 넓이의 비는 1:316\displaystyle 1 : \frac{3}{16}이다. 한편, 그림 R1R _{1}의 원의 개수와 그림 R2R _{2}의 원의 개수의 비는 2:42 : 4 즉, 1:21 : 2이므로 공비는 316×2=38\displaystyle \frac{3}{16} \times 2 = \frac{3}{8} 이다. 따라서, 구하는 극한값은 lim⁡n→∞Sn=43π−31−38\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{4}{3} \pi - \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{8}}=32π−24315\displaystyle = \frac{32 \pi - 24 \sqrt{3}}{15}

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로