미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 이등변삼각형 급수

문제

B1C1‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} = 8이고 ∠B1A1C1=120∘\angle \mathrm{B} _{1} A _{1} C _{1} = 120 ^\circ인 이등변삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}이 있다. 그림과 같이 중심이 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1} 위에 있고 직선 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}과 직선 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}에 동시에 접하는 원 O1O _{1}을 그리고 이등변삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}의 내부와 원 O1O _{1}의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 원 O1O _{1}과 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}이 만나는 점을 각각 B2\mathrm{B} _{2}, C2\mathrm{C} _{2}라 할 때, 삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} 내부의 점 A2\mathrm{A} _{2}를 삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}가 ∠B2A2C2=120∘\angle \mathrm{B} _{2} A _{2} C _{2} = 120 ^\circ인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 중심이 선분 B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2} 위에 있고 직선 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}와 직선 A2C2\mathrm{A} _{2} C _{2}에 동시에 접하는 원 O2O _{2}를 그리고 이등변삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}의 내부와 원 O2O _{2}의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋮\vdots ⋮\vdots

①3233−83π\displaystyle \frac{32}{3} \sqrt{3} - \frac{8}{3} \pi②3233−43π\displaystyle \frac{32}{3} \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi③6493−83π\displaystyle \frac{64}{9} \sqrt{3} - \frac{8}{3} \pi④6493−53π\displaystyle \frac{64}{9} \sqrt{3} - \frac{5}{3} \pi⑤6493−43π\displaystyle \frac{64}{9} \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi

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③

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}은 이등변삼각형이므로 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하면 원 O1O _{1}의 중심은 M\mathrm{M}이다. 원 O1O _{1}과 직선 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}이 접하는 점을 N\mathrm{N}이라 하면 원 O1O _{1}의 반지름의 길이 MN‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}}은 MN‾=4×sin⁡30∘=2\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}} = 4 \times \sin 30 ^\circ = 2 삼각형 A1B1M\mathrm{A} _{1} B _{1} M에서 B1M‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} M}} = 4, ∠A1B1M=30∘\angle \mathrm{A} _{1} B _{1} M = 30 ^\circ 이므로 A1M‾=4×tan⁡30∘=433\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} M}} = 4 \times \tan 30 ^\circ = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S1S _{1}=12×8×433−12×2×2×π\displaystyle = \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{4 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \pi =1633−2π\displaystyle = \frac{16 \sqrt{3}}{3} - 2 \pi

삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}과 삼각형 An+1Bn+1Cn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}은 서로 닮음이고 12×BnCn‾=Bn+1Cn+1‾\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}}이므로 닮음비는 2:12 : 1이다. 삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}과 삼각형 An+1Bn+1Cn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}의 닮음비가 2:12 : 1이므로 넓이의 비는 4:14 : 1이다. 따라서 SnS _{n}은 첫째항이 1633−2π\displaystyle \frac{16 \sqrt{3}}{3} - 2 \pi이고 공비가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 lim⁡n→∞Sn=1633−2π1−14=6439−8π3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3} - 2 \pi}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{64 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \pi}{3}

태그

#등비급수#닮음비#도형

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