원과 현의 길이

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 활용한 문제해결하기 양수 $s , t$에 대하여 원의 중심의 좌표를 $\mathrm{C} \mathit{\left( s , t \right)}$라 하면 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( s , 0 \right)$이다.

점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $2$인 직선을 $l$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $y - 0$$= 2 \left( x - s \right)$, $2 x - y - 2 s$$= 0$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PS}}}$$= 4$에 의해 점 $\mathrm{C}$와 $y$축 사이의 거리와 점 $\mathrm{C}$와 직선 $l$ 사이의 거리가 같으므로 $s$$\displaystyle = \frac{\left| 2 s - t - 2 s \right|}{\sqrt{2 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}}$, $t$$\displaystyle = \sqrt{5} s$ $\cdots \cdots$ ㉠ 선분 $\mathrm{PS}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}}$$= 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CM}}}$$= s$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}}$$= t$이고 삼각형 $\mathrm{CPM}$이 직각삼각형이므로 $t ^{2}$$= s ^{2} + 4$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $s$$= 1$, $t$$\displaystyle = \sqrt{5}$이므로 원점 $\mathrm{O}$와 원의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{1 + 5}$$\displaystyle = \sqrt{6}$