원과 벡터 합 최대

[출제의도] 벡터와 관련된 문제를 도형을 이용하여 해결한다.

네 원 $C _{1}$, $C _{2}$, $C _{3}$, $C _{4}$의 중심을 각각 $\mathrm{O} _{1}$, $\mathrm{O} _{2}$, $\mathrm{O} _{3}$, $\mathrm{O} _{4}$ 라 하고, 두 원 $C _{3}$, $C _{4}$의 접점을 $\mathrm{B}$라 하자. 사각형 $\mathrm{O} _{1} O _{2} O _{4} O _{3}$은 네 변의 길이가 모두 $2$인 마름모이고, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 각각 변 $\mathrm{O} _{1} O _{2}$, 변 $\mathrm{O} _{3} O _{4}$의 중점이다. ∴ $\vec{\mathrm{AO} _{3}} + \vec{\mathrm{AO} _{4}}$$= 2 \vec{\mathrm{AB}}$$= 2 \vec{\mathrm{O} _{1} O _{3}}$ 한편, 벡터 $\vec{\mathrm{O} _{4} Q}$를 시점이 $\mathrm{O} _{3}$이 되도록 평행이동하였을 때, 그 종점을 $\mathrm{Q}'$이라 하면 $\vec{\mathrm{O} _{3} P} + \vec{\mathrm{O} _{4} Q}$$= \vec{\mathrm{O} _{3} P} + \vec{\mathrm{O} _{3} Q'}$이므로 $\vec{\mathrm{A} P} + \vec{\mathrm{A} Q}$ $= \left( \vec{\mathrm{AO} _{3}} + \vec{\mathrm{O} _{3} P} \right) + \left( \vec{\mathrm{AO} _{4}} + \vec{\mathrm{O} _{4} Q} \right)$ $= \left( \vec{\mathrm{AO} _{3}} + \vec{\mathrm{AO} _{4}} \right) + \left( \vec{\mathrm{O} _{3} P} + \vec{\mathrm{O} _{4} Q} \right)$ $= 2 \vec{\mathrm{O} _{1} O _{3}}$$+ \vec{\mathrm{O} _{3} P} + \vec{\mathrm{O} _{3} Q'}$ 이때, 벡터 $\vec{\mathrm{A} P} + \vec{\mathrm{A} Q}$의 크기가 최대가 되려면 $\vec{\mathrm{O} _{1} O _{3}}$은 방향과 크기가 일정한 벡터이므로 두 벡터 $\vec{\mathrm{O} _{3} P}$, $\vec{\mathrm{O} _{3} Q'}$이 $\vec{\mathrm{O} _{1} O _{3}}$과 방향이 같아야 한다. ∴ $\left| \vec{\mathrm{A} P} + \vec{\mathrm{A} Q} \right| \leq 3 \left| \vec{\mathrm{O} _{1} O _{3}} \right| = 6$