미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 반원 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}이 있다. 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}에 내접하는 원 O1O _{1}과 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다. 원 O1O _{1}의 내부와 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 원 O1O _{1}의 내부의 색칠하지 않은 부분인 모양의 도형 내부에 원 O1O _{1}의 중심을 지나고 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}에 평행한 직선 위의 두 점 A2\mathrm{A} _{2}, B2\mathrm{B} _{2}와 원 O1O _{1} 위의 두 점 C2\mathrm{C} _{2}, D2\mathrm{D} _{2}를 꼭짓점으로 하는 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}를 그린다. 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}에 내접하는 원 O2O _{2}와 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다. 원 O2O _{2}의 내부와 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에서 원 O2O _{2}의 내부의 색칠하지 않은 부분인 모양의 도형 내부에 그림 R1R _{1}에서 그림 R2R _{2}를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①94(43π−3)\displaystyle \frac{9}{4} \left( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} \right)②52(43π−3)\displaystyle \frac{5}{2} \left( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} \right)③72(43π−3)\displaystyle \frac{7}{2} \left( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} \right)④43(83π−3)\displaystyle \frac{4}{3} \left( \frac{8}{3} \pi - \sqrt{3} \right)⑤74(83π−3)\displaystyle \frac{7}{4} \left( \frac{8}{3} \pi - \sqrt{3} \right)

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②

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해설

그림 R1R _{1}에서

π3\displaystyle \frac{\pi}{3}

원 O1O _{1}의 중심 O1\mathrm{O} _{1}과 세 점 E\mathrm{E}, F\mathrm{F}, G\mathrm{G}가 있다. 두 삼각형 O1EF\mathrm{O} _{1} EF, O1FG\mathrm{O} _{1} FG는 정삼각형이다. S1S _{1}은 점 O1\mathrm{O} _{1}을 포함하는 부채꼴 FGE\mathrm{FGE}의 넓이에서 삼각형 FGE\mathrm{FGE}의 넓이를 뺀 값의 두 배이므로 S1S _{1}=2{(12×22×23π)−(12×1×23)}\displaystyle = 2 \left\{ \left( \frac{1}{2} \times 2 ^{2} \times \frac{2}{3} \pi \right) - \left( \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \sqrt{3} \right) \right\}=83π−23\displaystyle = \frac{8}{3} \pi - 2 \sqrt{3} 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부에 선분 Dn+1On\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{O} _{\mathit{n}}을 그린 그림이다.

Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}} OnO _{\mathit{n}} On+1O _{\mathit{n} + 1} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} Dn+1\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} On\mathrm{O} _{\mathit{n}} An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}

AnDn‾=a\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}} = \mathit{a}(a≠0a \ne 0)이라 하면 Dn+1On‾=a2\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{O} _{\mathit{n}}}} = \frac{a}{2}이고, 삼각형 An+1OnDn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{O} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}이 직각삼각형이므로 An+1Dn+1‾=a5\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{a}{\sqrt{5}} 정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}과 정사각형 An+1Bn+1Cn+1Dn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}은 서로 닮음이고 AnDn‾:An+1Dn+1‾=a:a5=1:15\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}} = a : \frac{a}{\sqrt{5}} = 1 : \frac{1}{\sqrt{5}} 따라서 그림 RnR _{n}과 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 1:15\displaystyle 1 : \frac{1}{\sqrt{5}}이므로 넓이의 비는 1:15\displaystyle 1 : \frac{1}{5}이다. SnS _{n}은 첫째항이 83π−23\displaystyle \frac{8}{3} \pi - 2 \sqrt{3}이고 공비가 15\displaystyle \frac{1}{5}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}=83π−231−15\displaystyle = \frac{\frac{8}{3} \pi - 2 \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{5}}=54(83π−23)\displaystyle = \frac{5}{4} \left( \frac{8}{3} \pi - 2 \sqrt{3} \right) =52(43π−3)\displaystyle = \frac{5}{2} \left( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} \right)

태그

#등비급수#도형

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