원기둥의 부피가 최대가 되는 조건

선분 $\displaystyle \overline{AD}$의 길이를 $x$라고 하면, 둘레의 길이가 $a$이므로 $\displaystyle \overline{AB} = \frac{a - 2 x}{2}$ (단, $\displaystyle 0 < x < \frac{a}{2}$) 원기둥의 부피 $V ( x )$는 $\displaystyle V ( x ) = \pi \left( \frac{x}{2 \pi} \right) ^{2} \cdot \frac{a - 2 x}{2} = \frac{1}{8 \pi} x ^{2} ( a - 2 x )$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dV}{dx} = \frac{1}{8 \pi} ( 2 ax - 6 x ^{2} ) = \frac{1}{4 \pi} x ( a - 3 x )$ 따라서, 원기둥의 부피는 $\displaystyle x = \frac{a}{3}$에서 최대가 된다. 이 때, $\displaystyle \overline{AB} = \frac{a - \frac{2}{3} a}{2} = \frac{a}{6}$