원기둥 옆면 이동 변화율

점 $\mathrm{P}$가 $1$초에 $\pi$씩 움직이므로 점 $\mathrm{H}$는 $1$초에 $\displaystyle \frac{4}{5} \pi$ 씩 움직인다. 따라서 점 $\mathrm{H}$가 $t$초 동안 움직인 거리는 $\displaystyle \frac{4}{5} \pi t$이다. 좌표공간에서 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 원점 $\mathrm{O}$라 하고 점 $\mathrm{A} ( 4 , 0 , 0 )$, $t$초 후의 점 $\mathrm{H} , P$를 $\displaystyle \mathrm{H} \left( 4 \cos \frac{\pi t}{5} , 4 \sin \frac{\pi t}{5} , 0 \right) , \mathrm{P} \left( 4 \cos \frac{\pi t}{5} , 4 \sin \frac{\pi t}{5} , \frac{3 \pi t}{5} \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HA}} = \sqrt{\left( 4 \cos \frac{\pi t}{5} - 4 \right) ^{2} + \left( 4 \sin \frac{\pi t}{5} \right) ^{2}}$$\displaystyle = 8 \sin \frac{\pi t}{10}$ $S$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{HA} \cdot \overline{PH}$$\displaystyle = 4 \sin \frac{\pi t}{10} \cdot \frac{3 \pi t}{5}$ $\displaystyle \frac{dS}{dt}$$\displaystyle = 4 \left( \cos \frac{\pi t}{10} \cdot \frac{\pi}{10} \cdot \frac{3 \pi t}{5} + \sin \frac{\pi t}{10} \cdot \frac{3 \pi}{5} \right)$ 따라서 $t = 5$일 때 $\displaystyle \frac{dS}{dt} = \frac{12}{5} \pi = \frac{q}{p} \pi$ ∴$p + q = 17$