원기둥 단면 회전체

그림과 같이 밑면의 원의 중심을 $\mathrm{O}$, 단면의 경계에 있는 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{AB}$와 밑면에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$이라 하자.

$\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}}$$= t$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$$\displaystyle = \sqrt{4 - t ^{2}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{QR}} \tan \theta$$\displaystyle = 2 \sqrt{4 - t ^{2}}$이다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$\displaystyle = \sqrt{{\mathrm{\overline{QR}}} ^{2} + {\mathrm{\overline{PR}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ( 4 - t ^{2} )}$ ∴ $V$$\displaystyle = 2 \pi \int _{0} ^{2} {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2} dt$ $\displaystyle = 2 \pi \int _{0} ^{2} 5 ( 4 - t ^{2} ) dt$$\displaystyle = 10 \pi \left[ 4 t - \frac{t ^{3}}{3} \right] _{0} ^{2}$$\displaystyle = \frac{160}{3} \pi$ ∴ $\displaystyle \frac{3 V}{\pi}$$= 160$ [참고] $\tan \theta = 2$이므로 단면의 경계는 단축이 $4$이고 장축이 $\displaystyle 4 \sqrt{5}$인 타원의 일부이다.

선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하고 선분 $\mathrm{AB}$를 포함하는 직선을 $x$축으로 놓으면 이 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{20} = 1$이다. 이것을 이용하여 $\displaystyle \pi \int _{-2} ^{2} y ^{2} dx$로 $V$의 값을 구할 수 있다.