공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원기둥 부피 인수분해

문제

부피가 $( x ^{3} + x ^{2} - 5 x + 3 ) \pi$ 인 직원기둥이 있다. 이 직원기둥의 높이와 밑면의 반지름의 길이가 각각 최고차항의 계수가 $1$ 인 $x$ 에 대한 일차식으로 나타내어 질 때, 이 직원기둥의 겉넓이는? (단, $x > 1$ ) [3점] ① $4 ( x ^{2} - x ) \pi$ ② $4 ( x ^{2} - 1 ) \pi$ ③ $4 x ^{2} \pi$ ④ $4 ( x ^{2} + 1 ) \pi$ ⑤ $4 ( x ^{2} + x ) \pi$

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②

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해설

[출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적문제 해결하기 원기둥의 반지름의 길이를 $r$ , 높이를 $h$ 라 하면 (부피) $= \pi r ^{2} h$ $= \left( x ^{3} + x ^{2} - 5 x + 3 \right) \pi$ $= \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x + 3 \right) \pi$ 이므로 $r = x - 1$ , $h = x + 3$

(겉넓이) $= 2 \pi r ^{2} + 2 \pi rh$ $= 2 r ( r + h ) \pi$ $= 2 ( x - 1 ) ( 2 x + 2 ) \pi$ $= 4 ( x ^{2} - 1 ) \pi$

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