원을 4등분하는 직선

두 직선 $l$, $m$이 원 $\left( x - 1 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 1$의 넓이를 $4$등분하므로 두 직선 $l$, $m$은 원의 중심 $( 1 , 3 )$을 지나고 서로 수직인 직선이다. 직선 $l$의 기울기가 $a$($0 < a < 3$)이므로 직선 $m$의 기울기는 $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{1}{a}$ $l : y = a \left( x - 1 \right) + 3$, $\displaystyle m : y = \mathit{-} \frac{1}{a} \left( x - 1 \right) + 3$ 직선 $l$의 $x$절편과 $y$절편은 각각 $\displaystyle 1 - \frac{3}{a}$, $3 - a$이고, 직선 $m$의 $x$절편과 $y$절편은 각각 $1 + 3 a$, $\displaystyle 3 + \frac{1}{a}$이므로 직선 $l$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 $S _{1}$은 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{a} - 1 \right) \left( 3 - a \right)$ 직선 $m$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 $S _{2}$는 $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \left( 1 + 3 a \right) \left( 3 + \frac{1}{a} \right)$ $S _{1} + S _{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{a} - 1 \right) \left( 3 - a \right) + \frac{1}{2} \left( 1 + 3 a \right) \left( 3 + \frac{1}{a} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{10}{a} + 10 a \right) \geq 10$ (단, 등호는 $a = 1$일 때 성립한다.) 따라서 $S _{1} + S _{2}$의 최솟값은 $10$