원에 내접하는 삼각형의 넓이

원의 중심을 ${\mathrm{O}}$라 하면 $\mathrm{\frown} {AB} : \frown {BC} : \frown {CA} = 3 : 4 : 5$이므로 $\mathrm{\angle} A : \angle B : \angle C = 4 : 5 : 3$ 그런데, $\mathrm{\angle} A + \angle B + \angle C = 180 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} A = {\frac{4}{12} \times 180 ^\circ = 60 ^\circ}$ $\displaystyle \mathrm{\angle} C = \frac{3}{12} \times 180 ^\circ = 45 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 둘레의 길이가 $12$이므로 외접원의 반지름 $R$은 $2 \pi R = 12$ $\therefore$ $\displaystyle R = \frac{6}{\pi}$ 즉, 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\sin 60 ^\circ} = \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\sin 45 ^\circ} = \frac{12}{\pi}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \frac{6 \sqrt{3}}{\pi}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \frac{6 \sqrt{2}}{\pi}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{x}$라 하면 $\mathrm{\triangle} ABC$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \cos A$ 즉, $\displaystyle \frac{108}{\pi ^{2}} = \frac{72}{\pi ^{2}} + x ^{2} - 2 \cdot \frac{6 \sqrt{2}}{\pi} \cdot x \cdot \cos 60 ^\circ$에서 $\displaystyle x ^{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{\pi} x - \frac{36}{\pi ^{2}} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle x = \frac{3 \left( \sqrt{2} + \sqrt{6} \right)}{\pi}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \frac{3 \left( \sqrt{2} + \sqrt{6} \right)}{\pi}$이므로 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{6 \sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{3 \left( \sqrt{2} + \sqrt{6} \right)}{\pi} \cdot \sin 60 ^\circ$ $\displaystyle = \frac{27 + 9 \sqrt{3}}{\pi ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle \frac{\pi ^{2} S}{9} = 3 + \sqrt{3}$