원에 내접하는 사각형

[출제의도] 삼각함수의 활용 문제 해결하기 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = a$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}} = 2 a$이다. 삼각형 $\mathrm{DAB}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2}$$\displaystyle = a ^{2} + \left( 2 a \right) ^{2} - 2 {\times} a {\times} 2 a \times \cos \frac{2}{3} \pi$$= 7 a ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{7} a$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{ED}} = 3 : 4$이므로 $($삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이$)$$:$$($삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이$)$$= 3 : 4$이다. $\angle {\mathrm{ABC}} = \theta$라 할 때, $($삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이$)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BA}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times \sin \theta$ $($삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이$)$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\times} \overline{\mathrm{DA}} {\times} \overline{\mathrm{DC}} {\times} \sin \left( \pi - \theta \right)$이고 $($삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이$)$$:$$($삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이$)$ $\displaystyle = \overline{\mathrm{BA}} {\times} \overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{DA}} {\times} \overline{\mathrm{DC}}$$= 3 : 4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \frac{3}{2} \overline{\mathrm{DC}}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} = k$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \frac{3 k}{2}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{7} a$, $\displaystyle \angle {\mathrm{BCD}} = \frac{\pi}{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\left( \frac{3 k}{2} \right) ^{2} + k ^{2} - \left( \sqrt{7} a \right) ^{2}}{2 {\times} \frac{3 k}{2} {\times} k}$ 이므로 $k = 2 a$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 3 a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} = 2 a$이다. 삼각형 $\mathrm{DAB}$의 외접원의 반지름의 길이가 $1$이고 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\sqrt{7} a}{\sin \frac{2}{3} \pi} = 2$이므로 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{21}}{7}$이다. $($삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이$)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{21}}{7} \times \frac{2 \sqrt{21}}{7} {\times} \sin \frac{2}{3} \pi$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ $($삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이$)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{21}}{7} \times \frac{2 \sqrt{21}}{7} {\times} \sin \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{9 \sqrt{3}}{14}$ 이므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{14} + \frac{9 \sqrt{3}}{14} = \frac{6 \sqrt{3}}{7}$이다. 따라서 $p + q = 13$