원에 내접하는 사각형

삼각형 $\mathrm{ABE}$와 삼각형 $\mathrm{DCE}$는 서로 닮음이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = 1 : 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} : {\overline{\mathrm{CE}}} = 1 : 2$이다. 삼각형 $\mathrm{BEC}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = k \left( k > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = 2 k$ 원주각의 성질에 의하여 $\angle \mathrm{BDC} = \mathit{\angle} \mathrm{BAC} = \mathit{\alpha}$이므로 $\angle \mathrm{BEC} = \mathit{\alpha} + \beta$ 삼각형 $\mathrm{BEC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 2 \sqrt{30} \right) ^{2} = k ^{2} + 4 k ^{2} - 2 \times k \times 2 k \times \left( - \frac{5}{12} \right)$, $k ^{2} = 18$ $k > 0$이므로 $\displaystyle k = 3 \sqrt{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = t \left( t > 0 \right)$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle t ^{2} + 4 ^{2} > \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2}$, $\displaystyle t > \sqrt{2}$ $\displaystyle \cos \left( \pi - \left( \alpha + \beta \right) \right) = - \cos \left( \alpha + \beta \right) = \frac{5}{12}$ 삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 4 ^{2} = t ^{2} + \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} - 2 \times t \times 3 \sqrt{2} \times \frac{5}{12}$ $\displaystyle 2 t ^{2} - 5 \sqrt{2} t + 4 = 0$ $\displaystyle \left( 2 t - \sqrt{2} \right) \left( t - 2 \sqrt{2} \right) = 0$ $\displaystyle t > \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle t = 2 \sqrt{2}$ 따라서 구하는 선분 $\mathrm{AE}$의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이다.