원에 내접하는 사각형

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 원의 반지름의 길이를 구할 수 있는가? $\mathrm{\angle} BAC = \angle CAD = \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} - 2 \times \overline{AB} \times \overline{AC} \times \cos \theta$ $\displaystyle = 25 + 45 - 2 \times 5 \times 3 \sqrt{5} \times \cos \theta$ $\displaystyle = 70 - 30 \sqrt{5} \cos \theta$ 또 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AD}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} - 2 \times \overline{AD} \times \overline{AC} \times \cos \theta$ $\displaystyle = 49 + 45 - 2 \times 7 \times 3 \sqrt{5} \times \cos \theta$ $\displaystyle = 94 - 42 \sqrt{5} \cos \theta$ 이때 $\mathrm{\angle} BAC = \angle CAD$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = {\overline{CD}} ^{2}$ $\displaystyle 70 - 30 \sqrt{5} \cos \theta = 94 - 42 \sqrt{5} \cos \theta$에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2}$$\displaystyle = 70 - 30 \sqrt{5} \cos \theta$$\displaystyle = 70 - 30 \sqrt{5} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$= 10$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{10}$ 한편, $\displaystyle \sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta = 1 - \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5} \right) ^{2} = \frac{1}{5}$이므로 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ 따라서 구하는 원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\sin \theta} = \mathit{2} R$ $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2 R$ $\displaystyle 5 \sqrt{2} = 2 R$ 즉, $\displaystyle R = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$