원에 내접하는 직사각형 경기장

가로를 $x ,$ 세로를 $y$라 하면 $2 x + 2 y = 800$ $\therefore x + y = 400$ 지름의 $300$이므로 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} \leq 300$ $x ^{2} + y ^{2} \leq 90000$ $( x + y ) ^{2} - 2 xy \leq 90000$ $160000 - 2 x y \leq 90000$ $70000 \leq 2 xy$ $\therefore xy \geq 35000$ ∴ 넓이가 최소일 때는 $xy = 35 000$일 때이다. $x + y = 400$이므로 $y = 400 - x$ $x ( 400 - x ) = 35000$ $x ^{2} - 400 x + 35000 = 0$ $\displaystyle x = 200 \pm \sqrt{200 ^{2} - 35000}$$\displaystyle = 200 \pm \sqrt{5000}$ $\displaystyle = 200 \pm 50 \sqrt{2}$ ∴ 가로, 세로는 $\displaystyle 200 \pm 50 \sqrt{2}$ ∴ 차이는 $\displaystyle 50 \sqrt{2} \times 2 = 100 \sqrt{2}$