대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원에 내접하는 두 삼각형의 넓이비

문제

두 점 A,B\mathrm{A} , B를 지름의 양 끝점으로 하는 원 위에 ∠CAB=45∘,∠DAB=60∘\angle \mathrm{CAB} = 45 ^\circ , \angle \mathrm{DAB} = 60 ^\circ 인 두 점 C,D\mathrm{C} , D 가 있다. (△CBD의넓이)(△CAD의넓이)\displaystyle \frac{( \triangle \mathrm{CBD} \text{의} \text{넓이} )}{( \triangle \mathrm{CAD} \text{의} \text{넓이} )}의 값은? (단, C,D\mathrm{C} , D는 지름AB\mathrm{AB}에 대하여 서로 맞은편에 있다.)

①2\displaystyle \sqrt{2}②3\displaystyle \sqrt{3}③22④22\displaystyle 2 \sqrt{2}⑤23\displaystyle 2 \sqrt{3}

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②

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해설

AB‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = a라 하면 AC‾=BC‾=12a,AD‾=12a,BD‾=32a\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BC}} = \frac{1}{\sqrt{2}} a , \overline{\mathrm{AD}} = \frac{1}{2} a , \overline{\mathrm{BD}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a 이다. 따라서 △CAD\triangle \mathrm{CAD}와 △CBD\triangle \mathrm{CBD}의 면적을 구하면 △CAD=12AD‾⋅AC‾⋅sin⁡75∘\displaystyle \triangle \mathrm{CAD} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AD}} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot \sin 75 ^\circ=142⋅a2⋅sin⁡75∘\displaystyle = \frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot a ^{2} \cdot \sin 75 ^\circ △CBD=12⋅BD‾⋅BC‾⋅sin⁡75∘\displaystyle \triangle \mathrm{CBD} = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{BD}} \cdot \overline{\mathrm{BC}} \cdot \sin 75 ^\circ=342⋅a2⋅sin⁡75∘\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} \cdot a ^{2} \cdot \sin 75 ^\circ 따라서 △CBD△CAB=3\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{CBD}}{\triangle \mathrm{CAB}} = \sqrt{3}

태그

#삼각형의 넓이#원주각#사인법칙

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