대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원에 내접하는 두 삼각형

문제

그림과 같이 선분 BC\mathrm{BC}를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 ADE\mathrm{ADE}가 모두 내접한다. 두 선분 AD\mathrm{AD}와 BC\mathrm{BC}가 점 F\mathrm{F}에서 만나고 BC‾=DE‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = {\overline{DE}} = 4, BF‾=CE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = {\overline{CE}}, sin⁡(∠CAE)=14\displaystyle \sin ( \mathrm{\angle} CAE ) = \frac{1}{4} 이다. AF‾=k\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} = \mathit{k}일 때, k2k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형에 관한 문제를 해결한다. ∠CAE=θ\mathrm{\angle} CAE = \theta라 하면 sin⁡θ=14\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{4}이고 BC‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 4이므로 삼각형 ACE\mathrm{ACE}에서 사인법칙에 의하여 CE‾sin⁡θ=BC‾\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CE}}}}{\sin \theta} = {\overline{\mathrm{BC}}}, CE‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = 1 BF‾=CE‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{CE}}} = 1이므로 FC‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{FC}} = 3 BC‾=DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{DE}}에서 선분 DE\mathrm{DE}도 주어진 원의 지름이므로 ∠BAC=∠DAE=90∘\mathrm{\angle} BAC = \mathrm{\angle} DAE = 90 ^\circ이다. ∠BAD\mathrm{\angle} BAD=90∘−∠DAC= \mathrm{90} ^\circ - \angle DAC=θ= \theta 삼각형 ABF\mathrm{ABF}에서 사인법칙에 의하여 ksin⁡(∠ABF)=1sin⁡θ=4\displaystyle \frac{\mathit{k}}{\sin \left( \mathrm{\angle} ABF \right)} = \frac{1}{\sin \theta} = 4이므로 sin⁡(∠ABF)=k4\displaystyle \sin \left( \mathrm{\angle} ABF \right) = \frac{\mathit{k}}{4} 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 sin⁡(∠ABC)=AC‾4\displaystyle \sin \left( \mathrm{\angle} ABC \right) = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{4}이므로 AC‾=4sin⁡(∠ABC)=4×k4=k\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 4 \sin \left( \mathrm{\angle} ABC \right) = 4 \times \frac{\mathit{k}}{4} = k 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 cos⁡(∠BCA)=k4\displaystyle \cos \left( \mathrm{\angle} BCA \right) = \frac{\mathit{k}}{4}이므로 삼각형 AFC\mathrm{AFC}에서 코사인법칙에 의하여 AF‾2=AC‾2+FC‾2−2×AC‾×FC‾×cos⁡(∠FCA)\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} \mathit{^{2}} = {\overline{\mathrm{AC}}} \mathit{^{2}} + {\overline{\mathrm{FC}}} \mathit{^{2}} - 2 \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times {\overline{\mathrm{FC}}} \times \cos \left( \mathrm{\angle} FCA \right) k2=k2+32−2×k×3×k4\displaystyle k \mathit{^{2}} = k \mathit{^{2}} + 3 \mathit{^{2}} - 2 \times k \times 3 \times \frac{k}{4}, 32k2=9\displaystyle \frac{3}{2} k ^{2} = 9 따라서 k2=6k ^{2} = 6

태그

#사인법칙#코사인법칙

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