원에 내접한 삼각형 보기

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 추론하기 $\mathrm{\angle} DAC = \angle BAD = \theta$라 하면 두 각 $\mathrm{\angle} DAC$, $\mathrm{\angle} DBC$가 모두 호 $\mathrm{CD}$에 대한 원주각이므로 $\mathrm{\angle} DBC = \theta$ ㄱ. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\sin \mathrm{(} \angle BAD )} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \sin \mathrm{(} \angle DBE ) = \sin ( \angle DBC ) = \frac{1}{2}$ (참) ㄴ. $0 < \mathrm{\angle} BAC = 2 \theta < \pi$에서 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle \mathrm{\angle} BAC = 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\sin \frac{\pi}{3}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 3$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} - 2 \times \overline{AB} \times \overline{AC} \times \cos \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} = \overline{AB} \times \overline{AC} \times 9$ $\cdots \cdots$ $( * )$ (참) ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \mathit{a}$ $( 0 < a < 3 )$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \overline{BC} - \overline{BE} = \mathit{3} - a$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\mathrm{\angle} BAE = \angle EAC$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{AC} = \overline{BE} : \overline{CE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{AC} = \mathit{a} : ( 3 - a )$ 양수 $k$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{ak}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{(} 3 - a ) k$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times \overline{AB} \times \overline{AC} \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \mathit{a} ( 3 - a ) k ^{2}$이고 삼각형 $\mathrm{BDE}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times \overline{BD} \times \overline{BE} \times \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{4} \mathit{a}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{BDE}$의 넓이의 $4$배이어야 하므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} a ( 3 - a ) k ^{2} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a$ $( 3 - a ) k ^{2} = 4$ $\cdots \cdots$ $( * * )$ $( * )$에 의하여 $( ak ) ^{2} + \left\{ ( 3 - a ) k \right\} ^{2} = ( ak ) ( 3 - a ) k + 9$ $k ^{2} ( a ^{2} - 3 a + 3 ) = 3$ $( 3 - a ) k ^{2} ( a ^{2} - 3 a + 3 ) = 3 ( 3 - a )$ 위 식에 $( * * )$을 대입하면 $4 ( a ^{2} - 3 a + 3 ) = 3 ( 3 - a )$ $4 a ^{2} - 9 a + 3 = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{9 + \sqrt{33}}{8}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{9 - \sqrt{33}}{8}$ 그러므로 모든 $a$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{9}{4}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ