원에 내접한 사각형

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 변의 길이를 구할 수 있는가? 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{7}$이므로 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{BAC} \right)}$$\displaystyle = 4 \sqrt{7}$ 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = \sin \frac{\pi}{3} \times 4 \sqrt{7}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{7}$$\displaystyle = 2 \sqrt{21}$ 또, 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외접원의 반지름의 길이도 $\displaystyle 2 \sqrt{7}$이므로 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{BCD} \right)}$$\displaystyle = 4 \sqrt{7}$ 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}}$$\displaystyle = \sin \left( \angle \mathrm{BCD} \right) \times 4 \sqrt{7}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{7}}{7} \times 4 \sqrt{7}$$= 8$ 한편, $\angle \mathrm{BDC}$$= \pi - \angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle = \frac{2}{3} \pi$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$$= x$라 하면 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 2 \sqrt{21} \right) ^{2}$$\displaystyle = x ^{2} + 8 ^{2} - 2 \times x \times 8 \times \cos \frac{2}{3} \pi$ $x ^{2} + 8 x - 20$$= 0$ $\left( x - 2 \right) \left( x + 10 \right)$$= 0$ $x > 0$이므로 $x = 2$ 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$$= 2$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} + {\overline{\mathrm{CD}}}$$= 8 + 2$$= 10$