대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원에 내접한 정삼각형

문제

정삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 반지름의 길이가 rr인 원에 내접하고 있다. 선분 AC\mathrm{AC}와 선분 BD\mathrm{BD}가 만나고 BD‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \sqrt{2}가 되도록 원 위에서 점 D\mathrm{D}를 잡는다. ∠DBC=θ\mathrm{\angle} DBC = \theta라 할 때, sin⁡θ=33\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}이다. 반지름의 길이 rr의 값은? [4점] ①6−65\displaystyle \frac{6 - \sqrt{6}}{5}②6−55\displaystyle \frac{6 - \sqrt{5}}{5}③45\displaystyle \frac{4}{5}④6−35\displaystyle \frac{6 - \sqrt{3}}{5}⑤6−25\displaystyle \frac{6 - \sqrt{2}}{5}

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①

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다. 주어진 원이 삼각형 BCD\mathrm{BCD}의 외접원이고 반지름의 길이가 rr이므로 사인법칙에 의하여 CD‾=2rsin⁡θ=233r\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} \mathit{=} 2 r \sin \theta = \frac{2 \sqrt{3}}{3} r, BC‾=2rsin⁡π3=3r\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \mathit{=} 2 r \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} r 삼각형 BCD\mathrm{BCD}에서 코사인법칙에 의하여 (3r)2\displaystyle \left( \sqrt{3} r \right) ^{2}=(2)2+(233r)2−2×2×(233r)×cos⁡π3\displaystyle = \left( \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} r \right) ^{2} - 2 \times \sqrt{2} \times \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} r \right) \times \cos \frac{\pi}{3} 이 식을 정리하면 5r2+26r−6=0\displaystyle 5 r ^{2} + 2 \sqrt{6} r - 6 = 0 그러므로 r=−6±65\displaystyle r = \frac{- \sqrt{6} \pm 6}{5} 따라서 r>0r > 0이므로 r=6−65\displaystyle r = \frac{6 - \sqrt{6}}{5}

태그

#코사인법칙#사인법칙

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