대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원에 내접 사각형 넓이

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 4이고 중심이 OO인 원 위의 세 점 AA, BB, CC에 대하여 ∠ABC=120∘\angle ABC = 120 ^\circ, AB‾+BC‾=215\displaystyle {\overline{AB}} + {\overline{BC}} = 2 \sqrt{15} 일 때, 사각형 OABCOABC의 넓이는? [4점]

①53\displaystyle 5 \sqrt{3}②1132\displaystyle \frac{11 \sqrt{3}}{2}③63\displaystyle 6 \sqrt{3}④1332\displaystyle \frac{13 \sqrt{3}}{2}⑤73\displaystyle 7 \sqrt{3}

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⑤

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해설

사인법칙에서 AC‾=8×sin⁡120∘=43\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 8 \times \sin 120 ^\circ = 4 \sqrt{3} 코사인법칙에서 AC‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2} =a2+b2−2abcos⁡120∘a ^{2} + b ^{2} - 2 ab \cos 120 ^\circ =a2+b2+ab= a ^{2} + b ^{2} + ab=(a+b)2−ab= ( a + b ) ^{2} - ab ab=(215)2−(43)2=12\displaystyle ab = ( 2 \sqrt{15} ) ^{2} - ( 4 \sqrt{3} ) ^{2} = 12 구하는 넓이는 12(4×4+ab)sin⁡120∘\displaystyle \frac{1}{2} ( 4 \times 4 + ab ) \sin 120 ^\circ=73\displaystyle = 7 \sqrt{3}

태그

#코사인법칙#삼각형 넓이

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