미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 영역 넓이 미분 빈칸

문제

양의 실수 tt에 대하여 좌표평면에서 x,yx , y에 대한 연립부등식 {x2+(y−1)2≤1y≤tx\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} \leq 1 & \\ y \leq tx & \end{cases}} 가 나타내는 영역의 넓이를 f(t)f ( t )라 하자. 다음은 f′(2)f' ( 2 )의 값을 구하는 과정이다. 원 C:x2+(y−1)2=1C : x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1 의 중심을 A,\mathrm{A} ,원 C\mathrm{C}와 직선 l:y=txl : y = tx가 만나는 두 점을 각각 O,B\mathrm{O} , B라 하자.

직선 ll이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ\theta(0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)라 하면 ∠OAB=2θ\mathrm{\angle} OAB = 2 \theta이다. 주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 하면 g(θ)=θ−□(가)g ( \theta ) = \theta - \square {\text{(가)}} 이다. t=tan⁡θt = \tan \theta이므로 g(θ)=f(t)=f(tan⁡θ)g ( \theta ) = f ( t ) = f ( \tan \theta )이고, 합성함수의 미분법에 의하여 g′(θ)=f′(t)×□(나)g' ( \theta ) = f' ( t ) \times \square {\text{(나)}} 이다. t=2t = 2일 때, tan⁡θ=2\tan \theta = 2이므로 f′(2)=□(다)f' ( 2 ) = \square {\text{(다)}}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 h1(θ)h _{1} ( \theta ), h2(θ)h _{2} ( \theta )라 하고 (다)에 알맞은 수를 aa라 할 때, a×h1(π4)×h2(π4)\displaystyle a \times h _{1} \left( \frac{\pi}{4} \right) \times h _{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)의 값은? [4점] ①825\displaystyle \frac{8}{25}②25\displaystyle \frac{2}{5}③1225\displaystyle \frac{12}{25}④1425\displaystyle \frac{14}{25}⑤1625\displaystyle \frac{16}{25}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

주어진 영역의 넓이는 부채꼴 AOB\mathrm{A} OB의 넓이에서 삼각형 AOB\mathrm{A} OB의 넓이를 제외한 것이므로 g(θ)=12⋅1⋅2θ−12⋅1⋅1⋅sin⁡2θ\displaystyle g ( \theta ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \theta - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 2 \theta=θ−12sin⁡2θ\displaystyle = \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta g′(θ)=1−cos⁡2θg' ( \theta ) = 1 - \cos 2 \theta 주어진 조건에서 g′(θ)=f′(tan⁡θ)×sec⁡2θg' ( \theta ) = f' ( \tan \theta ) \times \sec ^{2} \theta=f′(t)×sec⁡2θ= f' ( t ) \times \sec ^{2} \theta f′(t)=g′(θ)sec⁡2θ=1−cos⁡2θsec⁡2θ\displaystyle f' ( t ) = \frac{g' ( \theta )}{\sec ^{2} \theta} = \frac{1 - \cos 2 \theta}{\sec ^{2} \theta} =cos⁡2θ(1−cos⁡2θ)= \cos ^{2} \theta ( 1 - \cos 2 \theta ) =cos⁡2θ(2−2cos⁡2θ)= \cos ^{2} \theta ( 2 - 2 \cos ^{2} \theta ) t=2t = 2일 때, tan⁡θ=2,cos⁡θ=15\displaystyle \tan \theta = 2 , \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}이므로 f′(2)=825\displaystyle f' ( 2 ) = \frac{8}{25}

태그

#빈칸 추론#합성함수 미분

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로