미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위의 점과 삼각형 넓이의 불연속

문제

좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 와 두 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( 3 , 3 \right)}$ , $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , - 1 \right)}$ 이 있다. 실수 $t$ ( $0 < t \leq 4$ )에 대하여 $f \left( t \right)$ 를 집합 $\mathrm{\left\{ X | X \right.}$ 는 원 $C$ 위의 점이고, 삼각형 $\mathrm{ABX}$ 의 넓이는 $\left. t \right\}$ 의 원소의 개수라 하자. 함수 $f \left( t \right)$ 가 연속하지 않은 모든 $t$ 의 값의 합을 구하시오. [4점]

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해설

직선 $\mathrm{AB}$ 에서 가장 먼 원 위의 점 ${\mathrm{X}}$ 까지의 거리는 $\displaystyle \frac{8}{5}$ 이고 그때의 넓이는 $4$ 이다. 반대편의 가장 먼 점 ${\mathrm{X}}$ 까지의 거리는 $\displaystyle \frac{2}{5}$ 이고, 그때의 넓이는 $1$ 이다. 즉, 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ 이고 삼각형 $\mathrm{ABX}$ 의 넓이의 최댓값이 $4$ , 최솟값이 $1$ 이므로 원 위의 모든 점이 집합의 원소가 될 수 있다. 따라서 $t$ 의 범위에 따라 $f ( t )$ 를 구하면 다음과 같다. $\displaystyle f ( t ) = \begin{cases} 4 & & & ( 0 < t < 1 ) \\ 3 & & & ( t = 1 ) \\ 2 & & & ( 1 < t < 4 ) \\ 1 & & & ( t = 4 ) \end{cases}$ 따라서 불연속이 되는 점은 $t$ $=$ $1 , 4$ 이므로 불연속인 모든 $t$ 의 합은 $1 + 4 = 5$

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