원 위의 점과 삼각형 넓이 최대

원 $C : x ^{2} + y ^{2} - 4 y = 0$에서 $x ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠

그림과 같이 삼각형 ${\mathrm{PAB}}$의 넓이가 최대가 될 때 원 $C$ 위의 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선은 직선 ${\mathrm{AB}}$와 평행하고 이 접선의 $y$절편은 양수이어야 한다. 두 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 2 , - 2 \right)}$, ${\mathrm{B}} \mathit{\left( 5 , 1 \right)}$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{1 - \left( - 2 \right)}{5 - 2} = 1$ 이므로 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선의 방정식을 $y = x + k \left( k > 0 \right)$이라 하자. 원 $C$의 중심 $\left( 0 , 2 \right)$와 직선 $y = x + k$ 사이의 거리는 원 $C$의 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| - 2 + k \right|}{\sqrt{2}} = 2$ $k > 0$이므로 $\displaystyle k = 2 + 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle y = x + 2 + 2 \sqrt{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle x ^{2} + \left( x + 2 \sqrt{2} \right) ^{2} = 4$ $\displaystyle 2 x ^{2} + 4 \sqrt{2} x + 4 = 0$, $\displaystyle 2 \left( x + \sqrt{2} \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle x = - \sqrt{2}$ 점 ${\mathrm{P}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle - \sqrt{2}$